Dadas dos circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ donde $\omega_2$ está dentro de $\omega_1$. Demuestra que existe un punto $P$ tal que para cualquier recta $\ell$ que no pase por $P$, si $\ell$ interseca la circunferencia $\omega_1$ en $A,B$ y $\ell$ interseca la circunferencia $\omega_2$ en $C,D$, donde $A,C,D,B$ se encuentran en $\ell$ en este orden, entonces $\angle APC=\angle BPD$.

Sean $m,n$ dos enteros positivos con $m \ge n \ge 2022$. Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n,b_1,b_2,\ldots,b_n$ sean $2n$ números reales. Demuestra que el número de pares ordenados $(i,j) ~(1 \le i,j \le n)$ tales que \[ |a_i+b_j-ij| \le m \] no excede $3n\sqrt{m \log n}$.

Dado un entero positivo $n$, sea $D$ el conjunto de divisores positivos de $n$, y sea $f: D \to \mathbb{Z}$ una función. Demuestra que lo siguiente es equivalente: (a) Para cualquier divisor positivo $m$ de $n$, \[ n ~\Big|~ \sum_{d|m} f(d) \binom{n/d}{m/d}. \] (b) Para cualquier divisor positivo $k$ de $n$, \[ k ~\Big|~ \sum_{d|k} f(d). \]

Dado un entero positivo $n$, encuentra todas las $n$ - tuplas de números reales $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ tales que \[ f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{k_1=0}^{2} \sum_{k_2=0}^{2} \cdots \sum_{k_n=0}^{2} \big| k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_nx_n-1 \big| \] alcanza su mínimo.

Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ sean $n$ enteros positivos que no son divisibles entre sí, es decir, para cualquier $i \neq j$, $a_i$ no es divisible por $a_j$. Demuestra que \[ a_1+a_2+\cdots+a_n \ge 1.1n^2-2n. \] Nota: Una prueba de la desigualdad cuando $n$ es suficientemente grande recibirá puntos dependiendo de tus resultados.

Dado un triángulo no rectángulo $ABC$ con $BC>AC>AB$. Dos puntos $P_1 \neq P_2$ en el plano satisfacen que, para $i=1,2$, si $AP_i, BP_i$ y $CP_i$ intersecan la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $D_i, E_i$, y $F_i$, respectivamente, entonces $D_iE_i \perp D_iF_i$ y $D_iE_i = D_iF_i \neq 0$. Sea la recta $P_1P_2$ interseca la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $Q_1$ y $Q_2$. Las rectas de Simson de $Q_1$, $Q_2$ con respecto a $ABC$ se intersecan en $W$. Demuestra que $W$ se encuentra en el círculo de los nueve puntos de $ABC$.

Encuentra todos los pares de enteros positivos $(m, n)$, tales que en una tabla de $m \times n$ (con $m+1$ líneas horizontales y $n+1$ líneas verticales), se puede dibujar una diagonal en algunos cuadrados unitarios (algunos cuadrados unitarios pueden no tener diagonales dibujadas, pero dos diagonales no se pueden dibujar ambas en un cuadrado unitario), de modo que el grafo obtenido tenga un ciclo Euleriano.

El inradio del triángulo $ ABC$ es $ 1$ y las longitudes de los lados de $ ABC$ son todos enteros. Demuestre que el triángulo $ ABC$ es rectángulo.

Sea $ n$ un entero positivo y $ [ \ n ] = a.$ Encuentre el mayor entero $ n$ tal que las siguientes dos condiciones se satisfacen: $ (1)$ $ n$ no es un cuadrado perfecto; $ (2)$ $ a^{3}$ divide a $ n^{2}$ .

Sea $ f$ una función dada por $ f(x) = \lg(x+1)-\frac{1}{2}\cdot\log_{3}x$ . a) Resuelva la ecuación $ f(x) = 0$ . b) Encuentre el número de subconjuntos del conjunto \[ \{n | f(n^{2}-214n-1998) \geq 0,\ n \in\mathbb{Z}\}.\]