Sean $ \alpha$ , $ \beta$ ángulos agudos. Encuentre el valor máximo de \[ \frac{\left(1-\sqrt{\tan\alpha\tan\beta}\right)^{2}}{\cot\alpha+\cot\beta}\]

Hay 7 puntos arbitrarios en el plano. Se dibujan círculos a través de cada 4 puntos posibles concíclicos. Encuentra el número máximo de círculos que se pueden dibujar.

Demuestre que para cada potencia entera de 2, existe un múltiplo de ella con todos los dígitos (en expresión decimal) distintos de cero.

Dado un triángulo $ ABC$ con ángulo $ C \geq 60^{\circ}$ . Demuestre que: $ \left(a + b\right) \cdot \left(\frac {1}{a} + \frac {1}{b} + \frac {1}{c} \right) \geq 4 + \frac {1}{\sin\left(\frac {C}{2}\right)}.$

$\triangle{ABC}$ puede cubrir un polígono convexo $M$ . Demuestre que existe un triángulo que es congruente a $\triangle{ABC}$ tal que también puede cubrir $M$ y tiene una línea lateral paralela a o superpone una línea lateral de $M$ .

Dados los enteros positivos $m$ , $a$ , $b$ , $(a,b)=1$ . $A$ es un subconjunto no vacío del conjunto de todos los enteros positivos, de modo que para cada entero positivo $n$ hay $an \in A$ y $bn \in A$ . Para todos los $A$ que satisfacen la condición anterior, encuentre el mínimo del valor de $\left| A \cap \{ 1,2, \cdots,m \} \right|$

Sea $k$ un número impar que es mayor o igual que $3$ . Demuestre que existe un polinomio de grado $k^{th}$ con valores enteros y con coeficientes no enteros que tiene las siguientes propiedades: (1) $f(0)=0$ y $f(1)=1$ ; y. (2) Existen infinitos enteros positivos $n$ de modo que si la siguiente ecuación: \[ n= f(x_1)+\cdots+f(x_s), \] tiene soluciones enteras $x_1, x_2, \dots, x_s$ , entonces $s \geq 2^k-1$ .

Para un entero positivo $M$ , si existen enteros $a$ , $b$ , $c$ y $d$ de modo que: \[ M \leq a < b \leq c < d \leq M+49, \qquad ad=bc \] entonces llamamos a $M$ un número BUENO, si no entonces $M$ es MALO. Por favor, encuentre el número BUENO más grande y el número MALO más pequeño.

Dado un entero positivo $n$ , encuentre el número real más grande $C$ que satisfaga la condición de que si la suma de los recíprocos de un conjunto de enteros (Pueden ser iguales) que son mayores que $1$ es menor que $C$ , entonces podemos dividir el conjunto de números en no más de $n$ grupos de modo que la suma de los recíprocos de cada grupo sea menor que $1$ .

$H$ es el ortocentro de $\triangle{ABC}$ . $D$ , $E$ , $F$ están en la circunferencia circunscrita de $\triangle{ABC}$ tal que $AD \parallel BE \parallel CF$ . $S$ , $T$ , $U$ son los puntos simétricos de $D$ , $E$ , $F$ con respecto a $BC$ , $CA$ , $AB$ . Demuestre que $S, T, U, H$ se encuentran en el mismo círculo.