4 Sea $S(m)$ la suma de los dígitos de la expresión decimal de un número natural $m$. Determina todos los posibles valores naturales de $k$ menores que $30$ para los cuales la ecuación $$S(n) +k = S(23n)+S(77n) $$ tiene al menos una solución natural $n$.

G1 Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\Omega$ . $\Gamma$ es la circunferencia que pasa por $O,B$ y es tangente a $AB$ en $B$ . Suponga que $\Gamma$ corta a $\Omega$ por segunda vez en $P \neq B$ . La circunferencia que pasa por $P,C$ y es tangente a $AC$ en $C$ corta a $\Gamma$ en $M$ . Demuestre que $|MP|=|MC|$ .

1 Sea \( \mathbb{R} ^{+} \) el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentra todas las funciones \( \mathbb{R} ^{+} \to \mathbb{R} ^{+} \) tales que \[ f(x+f(y)) = yf(xy+1)\] se cumple para todo \( x, y \in \mathbb{R} ^{+} \).

$n$ personas asisten a una fiesta. Entre ellas no hay más de $n$ pares de amigos. Dos personas se dan la mano si y solo si tienen al menos $1$ amigo en común. Dado un entero $m\ge 3$ tal que $n\leq m^3$ . Demuestre que existe una persona $A$ tal que el número de personas que se dan la mano con $A$ es a lo sumo $m-1$ veces el número de amigos de $A$ .

G3 En el triángulo $ABC$ , el punto $A_1$ está en el lado $BC$ y el punto $B_1$ está en el lado $AC$ . Sean $P$ y $Q$ puntos en los segmentos $AA_1$ y $BB_1$ , respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $AB$ . Sea $P_1$ un punto en la recta $PB_1$ , tal que $B_1$ está estrictamente entre $P$ y $P_1$ , y $\angle PP_1C=\angle BAC$ . De manera similar, sea $Q_1$ el punto en la recta $QA_1$ , tal que $A_1$ está estrictamente entre $Q$ y $Q_1$ , y $\angle CQ_1Q=\angle CBA$ . Demuestre que los puntos $P,Q,P_1$ y $Q_1$ son concíclicos. Propuesto por Anton Trygub, Ucrania

1 Demuestre que hay infinitos enteros positivos $m$ tales que $n^4+m$ no es primo para ningún entero positivo $n$ .

G4 Sea $P$ un punto dentro del triángulo $ABC$ . Sea $A_1$ el punto donde $AP$ corta a $BC$ , sea $B_1$ el punto donde $BP$ corta a $CA$ , y sea $C_1$ el punto donde $CP$ corta a $AB$ . Sea $A_2$ el punto tal que $A_1$ es el punto medio de $PA_2$ , sea $B_2$ el punto tal que $B_1$ es el punto medio de $PB_2$ , y sea $C_2$ el punto tal que $C_1$ es el punto medio de $PC_2$ . Demuestre que los puntos $A_2, B_2$ y $C_2$ no pueden estar todos estrictamente dentro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . (Australia)

G5 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo con $CD= DE$ y $\angle EDC \ne 2 \cdot \angle ADB$ . Suponga que un punto $P$ está ubicado en el interior del pentágono tal que $AP =AE$ y $BP= BC$ . Demuestre que $P$ está en la diagonal $CE$ si y solo si el área $(BCD)$ + el área $(ADE)$ = el área $(ABD)$ + el área $(ABP)$ . (Hungría)

G6 Sea $I$ el incentro del triángulo acutángulo $ABC$ . La circunferencia inscrita corta a $BC, CA$ y $AB$ en $D, E$ y $F,$ respectivamente. La recta $EF$ interseca a la circunferencia circunscrita del triángulo en $P$ y $Q$ , tal que $F$ está entre $E$ y $P$ . Demuestre que $\angle DPA + \angle AQD =\angle QIP$ . (Eslovaquia)

11 Sean $n$ y $z$ enteros mayores que $1$ y $(n,z)=1$ . Demuestre: (a) Al menos uno de los números $z_i=1+z+z^2+\cdots +z^i,\ i=0,1,\ldots ,n-1,$ es divisible por $n$ . (b) Si $(z-1,n)=1$ , entonces al menos uno de los números $z_i$ es divisible por $n$ .