2 Determine si $\sqrt{1001^2+1}+\sqrt{1002^2+1}+ \cdots + \sqrt{2000^2+1}$ es un número racional o no.

3 Llamamos a una matriz $\textsl{binary matrix}$ si todas sus entradas son iguales a $0$ o $1$ . Una matriz binaria es $\textsl{Good}$ si satisface simultáneamente las siguientes dos condiciones: (1) Todas las entradas por encima de la diagonal principal (de izquierda a derecha), sin incluir la diagonal principal, son iguales. (2) Todas las entradas por debajo de la diagonal principal (de izquierda a derecha), sin incluir la diagonal principal, son iguales. Dado un entero positivo $m$ , demuestre que existe un entero positivo $M$ tal que para cualquier entero positivo $n>M$ y una matriz binaria $n \times n$ dada $A_n$ , podemos seleccionar enteros $1 \leq i_1 <i_2< \cdots < i_{n-m} \leq n$ y eliminar las filas $i_i$ - ésima, $i_2$ - ésima , $\cdots$ , $i_{n-m}$ - ésima y las columnas $i_i$ - ésima, $i_2$ - ésima , $\cdots$ , $i_{n-m}$ - ésima de $A_n$ , entonces la matriz binaria resultante $B_m$ es $\textsl{Good}$ .

1 Demuestre que para cualesquiera $n$ ( $n \geq 2$ ) fracciones distintas dos a dos en el intervalo $(0,1)$ , la suma de sus denominadores no es menor que $\frac{1}{3} n^{\frac{3}{2}}$ .

2 Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ . Las dos tangentes a $\omega$ desde $B$ y $C$ se intersecan en $P$ , $AP$ y $BC$ se intersecan en $D$ . Los puntos $E$ , $F$ están sobre $AC$ y $AB$ tales que $DE \parallel BA$ y $DF \parallel CA$ . (1) Demuestre que $F,B,C,E$ son concíclicos. (2) Denote $A_{1}$ el centro de la circunferencia que pasa por $F,B,C,E$ . $B_{1}$ , $C_{1}$ se definen de manera análoga. Demuestre que $AA_{1}$ , $BB_{1}$ , $CC_{1}$ son concurrentes.

3 Sea $n$ un entero positivo, sea $S_n = \{ (a_1,a_2,\cdots,a_{2^n}) \mid a_i=0 \ \text{or} \ 1, 1 \leq i \leq 2^n\}$ . Para cualesquiera dos elementos $a=(a_1,a_2,\cdots,a_{2^n})$ y $b=(b_1,b_2,\cdots,b_{2^n})$ de $S_n$ , defina \[ d(a,b)= \sum_{i=1}^{2^n} |a_i - b_i| \] Llamamos a $A \subseteq S_n$ un $\textsl{Good Subset}$ si $d(a,b) \geq 2^{n-1}$ se cumple para cualesquiera dos elementos distintos $a$ y $b$ de $A$ . ¿Cuántos elementos puede tener a lo más el $\textsl{Good Subset}$ de $S_n$ ?

1 Halle todos los enteros positivos $m$ y $n$ tales que la desigualdad: \[ [ (m+n) \alpha ] + [ (m+n) \beta ] \geq [ m \alpha ] + [n \beta] + [ n(\alpha+\beta)] \] sea verdadera para cualesquiera números reales $\alpha$ y $\beta$ . Aquí $[x]$ denota el mayor entero no mayor que el número real $x$ .

2 Sea $ ABCD$ un trapecio con lados paralelos $ AB > CD$ . Los puntos $ K$ y $ L$ se encuentran sobre los segmentos $ AB$ y $ CD$ , respectivamente, de modo que $AK/KB=DL/LC$ . Suponga que hay puntos $ P$ y $ Q$ sobre el segmento $ KL$ que satisfacen \[\angle{APB} = \angle{BCD}\qquad\text{and}\qquad \angle{CQD} = \angle{ABC}.\] Demuestre que los puntos $ P$ , $ Q$ , $ B$ y $ C$ son concíclicos. Propuesto por Vyacheslev Yasinskiy, Ucrania

La sucesión de enteros positivos $a_1, a_2, \ldots, a_{2025}$ se define como sigue: $a_1=2^{2024}+1$ y $a_{n+1}$ es el mayor factor primo de $a_n^2-1$ para $1 \leq n \leq 2024$ . Halle el valor de $a_{2024}+a_{2025}$ .

2 Sea $ABCD$ un trapecio con $AB // CD,$ $M$ y $N$ puntos fijos sobre $AB,$ $P$ un punto variable sobre $CD$ . $E = DN \cap AP$ , $F = DN \cap MC$ , $G = MC \cap PB$ , $DP = \lambda \cdot CD$ . Halle el valor de $\lambda$ para el cual el área del cuadrilátero $PEFG$ es máxima.

28 Considera en un plano $ P $ los puntos $ O,A_1,A_2,A_3,A_4 $ tales que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq 1 \quad \forall i, j = 1, 2, 3, 4, i \neq j.\] donde $ \sigma(OA_iA_j) $ es el área del triángulo $ OA_iA_j.$ Demuestra que existe al menos un par $ i_0, j_0 \in \{1, 2, 3, 4\} $ tal que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq \sqrt{2}.\]