2 Sea $n\geq 1$ un entero y sea $X$ un conjunto de $n^2+1$ enteros positivos tal que en cualquier subconjunto de $X$ con $n+1$ elementos existen dos elementos $x\neq y$ tales que $x\mid y$ . Demuestre que existe un subconjunto $\{x_1,x_2,\ldots, x_{n+1} \} \in X$ tal que $x_i \mid x_{i+1}$ para todo $i=1,2,\ldots, n$ . Valentin

3 Demuestre que si la distancia desde un punto interior de un poliedro convexo con $n$ caras a los vértices del poliedro es a lo sumo 1, entonces la suma de las distancias desde este punto a las caras del poliedro es menor que $n-2$ . Calin Popescu Valentin

1 Demuestre que en cualquier polígono convexo con $4n+2$ lados ( $n\geq 1$ ) existen dos lados consecutivos que forman un triángulo de área a lo sumo $\frac 1{6n}$ del área del polígono. Valentin

2 Sean $m,n$ enteros coprimos, tales que $m$ es par y $n$ es impar. Demuestre que la siguiente expresión no depende de los valores de $m$ y $n$ : \[ \frac 1{2n} + \sum^{n-1}_{k=1} (-1)^{\left[ \frac{mk}n \right]} \left\{ \frac {mk}n \right\} . \] Bogdan Enescu Valentin

3 Una sucesión de números reales $\{a_n\}_n$ se llama sucesión bs si $a_n = |a_{n+1} - a_{n+2}|$ , para todo $n\geq 0$ . Demuestre que una sucesión bs es acotada si y solo si la función $f$ dada por $f(n,k)=a_na_k(a_n-a_k)$ , para todo $n,k\geq 0$ es la función nula. Mihai Baluna - ISL 2004 Valentin

1 Sea $A_0A_1A_2A_3A_4A_5$ un hexágono convexo inscrito en una circunferencia. Defina los puntos $A_0'$ , $A_2'$ , $A_4'$ sobre la circunferencia, tales que \[ A_0A_0' \parallel A_2A_4, \quad A_2A_2' \parallel A_4A_0, \quad A_4A_4' \parallel A_2A_0 . \] Sean las rectas $A_0'A_3$ y $A_2A_4$ que se intersecan en $A_3'$ , las rectas $A_2'A_5$ y $A_0A_4$ que se intersecan en $A_5'$ y las rectas $A_4'A_1$ y $A_0A_2$ que se intersecan en $A_1'$ . Demuestre que si las rectas $A_0A_3$ , $A_1A_4$ y $A_2A_5$ son concurrentes, entonces las rectas $A_0A_3'$ , $A_4A_1'$ y $A_2A_5'$ también son concurrentes. Valentin

2 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $D$ , $E$ , $F$ tres puntos sobre los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ respectivamente, tales que los inradios de los triángulos $AEF$ , $BDF$ y $CDE$ son iguales a la mitad del inradio del triángulo $ABC$ . Demuestre que $D$ , $E$ , $F$ son los puntos medios de los lados del triángulo $ABC$ . Valentin

3 Sea $P$ un polígono (no necesariamente convexo) con $n$ vértices, tal que todos sus lados y diagonales tienen longitud menor o igual que 1. Demuestre que el área del polígono es menor que $\dfrac {\sqrt 3} 2$ . Valentin

1 Sea $a\in\mathbb{R}-\{0\}$ . Halle todas las funciones $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $f(a+x) = f(x) - x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ . Dan Schwartz Valentin

2 Sobre las aristas de un poliedro convexo dibujamos flechas de modo que desde cada vértice al menos una flecha apunta hacia adentro y al menos una apunta hacia afuera. Demuestre que existe una cara del poliedro tal que las flechas sobre sus aristas forman un circuito. Dan Schwartz Valentin