$H$ es el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ , y sea $M$ el punto medio de $BC$ . Suponga que $(AH)$ se encuentra con $AB$ y $AC$ en $D,E$ respectivamente. $AH$ se encuentra con $DE$ en $P$ , y la línea que pasa por $H$ perpendicular a $AH$ se encuentra con $DM$ en $Q$ . Demuestre que $P,Q,B$ son colineales.

Para la función $f:\mathbb Z^+ \to \mathbb R$ y los enteros positivos coprimos $p,q$ ; defina $f_p,f_q$ como $$f_p(x)=f(px)-f(x), f_q(x)=f(qx)-f(x) (x\in\mathbb Z^+)$$\n$f$ satisface las siguientes condiciones.\n$(i)$ para todo $r$ que no es múltiplo de $pq$, $f(r)=0$\n$(ii)$ $\exists m\in \mathbb Z^+$ $s.t.$ $\forall x\in \mathbb Z^+, f_p(x+m)=f_p(x)$ y $f_q(x+m)=f_q(x)$\nDemuestre que si $x\equiv y$ $(mod m)$ , entonces $f(x)=f(y)$ ( $x, y\in \mathbb Z^+$ ) .

Encuentre todos los pares de constantes $(a,b)$ tales que existe un polinomio de coeficientes reales $p(x)$ y $q(x)$ que satisfacen la condición siguiente.\nCondición: $\forall x\in \mathbb R,$ $p(x^2)q(x+1)-p(x+1)q(x^2)=x^2+ax+b$

El triángulo acutángulo $ABC$ satisface $\overline {AB}<\overline {BC}<\overline {CA}$. Denotemos el pie de la perpendicular desde $A,B,C$ a los lados opuestos como $D,E,F$. Sea $P$ un pie de la perpendicular desde $F$ a $DE$, y $Q(\neq F)$ un punto de intersección de la línea $FP$ y la circunferencia circunscrita de $BDF$. Demuestre que $\angle PBQ=\angle PAD$.

Para enteros positivos $k$ y $n$, exprese el número de permutaciones $P=x_1x_2...x_{2n}$ que consisten en $A$ y $B$ que satisfacen las tres condiciones siguientes, usando $k$ y $n$.\n$(i)$ $A, B$ aparecen exactamente $n$ veces respectivamente en $P$.\n$(ii)$ Para cada $1\le i\le n$, si denotamos el número de $A$ en $x_1,x_2,...,x_i$ como $a_i$, entonces $\mid 2a_i -i\mid \le 1$.\n$(iii)$ $AB$ aparece exactamente $k$ veces en $P$. (Por ejemplo, $AB$ aparece 3 veces en $ABBABAAB$)

Encuentre todas las $f(x)\in \mathbb Z (x)$ que satisfacen la siguiente condición, con el grado más bajo.\nCondición: Existen $g(x),h(x)\in \mathbb Z (x)$ tales que $$f(x)^4+2f(x)+2=(x^4+2x^2+2)g(x)+3h(x)$$ .

El triángulo acutángulo $ABC$ satisface $\overline {AB}<\overline {BC}<\overline {CA}$. Sea $H$ un ortocentro de $ABC$, $D$ un punto de intersección de $AH$ y $BC$, $E$ un punto de intersección de $BH$ y $AC$, y $M$ un punto medio del segmento $BC$. Un círculo con centro $E$ y radio $AE$ intersecta el segmento $AC$ en el punto $F$ ($\neq A$ ), y la circunferencia circunscrita del triángulo $BFC$ intersecta el segmento $AM$ en el punto $S$. Sean $P$ ($\neq D$ ), $Q$ ($\neq F$ ) un punto de intersección de la circunferencia circunscrita del triángulo $ASD$ y $DF$, la circunferencia circunscrita del triángulo $ASF$ y $DF$ respectivamente. Además, defina $R$ como un punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $AHQ$ y $AEP$. Demuestre que $R$ se encuentra en la línea $DF$.

H ay un grupo de más de tres aeropuertos. Para dos aeropuertos cualesquiera $A, B$ pertenecientes a este grupo, si hay un avión de $A$ a $B$, hay un avión de $B$ a $A$. Para una lista de diferentes aeropuertos $A_0,A_1,...A_n$, defina esta lista como una 'ruta' si hay un avión de $A_i$ a $A_{i+1}$ para cada $i=0,1,...,n-1$. Además, defina el inicio de esta ruta como $A_0$, el final como $A_n$, y la longitud como $n$. ( $n\in \mathbb N$ ) A hora, digamos que para tres pares diferentes de aeropuertos $(A,B,C)$, siempre hay una ruta $P$ que satisface la siguiente condición. Condición: $P$ comienza con $A$ y termina con $B$, y no incluye $C$. C uando la longitud de la más larga de las rutas existentes es $M$ ($\ge 2$), demuestre que dos rutas cualesquiera de longitud $M$ contienen al menos dos aeropuertos diferentes simultáneamente.

Demuestra que en cualquier conjunto de $n+1$ enteros, hay dos cuya diferencia es divisible por $n$.

Encuentra todos los enteros $n$ tales que $n^2 + 1$ divide a $n^3 + 1$.