Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC$. Sea $D$ un punto en el lado $AC$ tal que $BC = BD$. Si $\angle ABC = 70^\circ$, encuentra la medida de $\angle BDA$.

Demostrar que si $x, y, z > 0$, entonces $$\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{z} + \frac{z^2}{x} \ge x + y + z.$$

Tenemos que $(a+b)^3=216$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos tales que $a>b$ . ¿Cuáles son los valores posibles de $a^2-b^2$ ?

Tadeo dibuja el rectángulo con el perímetro más grande que se puede dividir en $2015$ cuadrados de lado $1$ $cm$ y el rectángulo con el perímetro más pequeño que se puede dividir en $2015$ cuadrados de lado $1$ $cm$ . ¿Cuál es la diferencia entre los perímetros de los rectángulos que dibujó Tadeo?

Considera números de la forma $1a1$ , donde $a$ es un dígito. ¿Cuántos pares de tales números hay tales que su suma también es un palíndromo? Nota: Un palíndromo es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Ejemplos: $353$ , $91719$ .

El rectángulo de la figura tiene dimensiones $16$ x $20$ y está dividido en $10$ rectángulos iguales más pequeños. ¿Cuál es el perímetro de cada uno de los $10$ rectángulos más pequeños?

En el triángulo $ABC$ , los puntos $P$ , $Q$ y $R$ están marcados en los lados $AB$ , $BC$ y $AC$ respectivamente. Se sabe que las longitudes de los lados del triángulo $PQR$ son 7, 8 y 9 centímetros. Encuentre los radios de los círculos inscritos en los triángulos $APR$ , $BPQ$ y $CQR$ dado que los tres círculos son tangentes al incírculo del triángulo $PQR$ .

Llamemos al entero positivo $x$ interesante, si existe un entero $y$ tal que se cumpla la siguiente ecuación: $(x + y)^y = (x - y)^x.$ Supongamos que enumeramos todos los enteros interesantes en orden creciente. Un entero interesante se considera muy interesante si no es relativamente primo con cualquier otro entero interesante que lo preceda. Encuentre el segundo entero muy interesante. Nota: Se asume que el primer entero interesante no es muy interesante.

Sean $a$ , $b$ , $c$ y $d$ enteros positivos tales que se cumplan las siguientes dos desigualdades: $a < 10^{20} \cdot c$ y $b > 10^{23} \cdot d$ . Determine el valor mínimo posible del número total de pares de enteros positivos $(n, m)$ para los cuales $n \cdot m = 2^{2023}$ y $$ \frac {ab}{n} + \frac{cd}{m} < \frac{(a + c)(b + d)}{n + m}$$

Tsrutsuna comienza en la celda inferior izquierda de una tabla cuadrada de 7 × 7, mientras que Tsuna está en la celda superior derecha. La celda central de la tabla contiene queso. Tsrutsuna quiere llegar a Tsuna y llevarse un trozo de queso con él. Desde una celda, Tsrutsuna solo puede moverse a la celda vecina de la derecha o de la parte superior. Determine el número de caminos diferentes que Tsrutsuna puede tomar desde la celda inferior izquierda hasta la celda superior derecha, de modo que pase por la celda central.