Dada una función $f$ tal que $f(x)\le x\forall x\in\mathbb{R}$ y $f(x+y)\le f(x)+f(y)\forall \{x,y\}\in\mathbb{R}$ , demuestre que $f(x)=x\forall x\in\mathbb{R}$ .

Desde el punto $P$ en el arco $BC$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ , $PX$ se construye perpendicular a $BC$ , $PY$ es perpendicular a $AC$ , y $PZ$ perpendicular a $AB$ (todo extendido si es necesario). Demuestre que $\frac{BC}{PX}=\frac{AC}{PY}+\frac{AB}{PZ}$ .

Sea la secuencia $\{a_i\}$ de $n$ reales positivos que denotan las longitudes de los lados de un $n$ - gon arbitrario. Sea $s=\sum_{i=1}^{n}{a_i}$ . Demuestre que $2\ge \sum_{i=1}^{n}{\frac{a_i}{s-a_i}}\ge \frac{n}{n-1}$ .

$T$ es un triángulo dado con vértices $P_1,P_2,P_3$ . Considere una subdivisión arbitraria de $T$ en un número finito de subtriángulos tal que ningún vértice de un subtriángulo se encuentre estrictamente entre dos vértices de otro subtriángulo. A cada vértice $V$ de los subtriángulos se le asigna un número $n(V)$ de acuerdo con las siguientes reglas: $(\text{i})$ Si $V$ = $P_i$ , entonces $n(V) = i$ . $(\text{ii})$ Si $V$ se encuentra en el lado $P_i P_j$ de $T$ , entonces $n(V) = i$ o $j$ . $(\text{iii})$ Si $V$ se encuentra dentro del triángulo $T$ , entonces $n(V)$ es cualquiera de los números $1,2,3$ . Demuestre que existe al menos un subtriángulo cuyos vértices están numerados $1, 2, 3$ .

Sean $\{a_i\}$ y $\{b_i\}$ dos sucesiones no decrecientes de $n$ números reales cada una, tales que $a_i\le a_{i+1}$ para cada $1\le i\le n-1$ , y $b_i\le b_{i+1}$ para cada $1\le i\le n-1$ , y $\sum_{k=1}^{m}{a_k}\ge \sum_{k=1}^{m}{b_k}$ donde $m\le n$ con igualdad para $m=n$ . Para una función convexa $f$ definida en los números reales, demuestre que $\sum_{k=1}^{n}{f(a_k)}\le \sum_{k=1}^{n}{f(b_k)}$ .

Dado el entero $n > 1$ y el número real $a > 0$ determinar el máximo de $\sum_{i=1}^{n-1} x_i x_{i+1}$ tomado sobre todos los números no negativos $x_i$ con suma $a.$

Determinar el valor máximo de $x^2 y^2 z^2 w$ para $\{x,y,z,w\}\in\mathbb{R}^{+} \cup\{0\}$ y $2x+xy+z+yzw=1$ .

Demostrar que existe un $k_0\in\mathbb{N}$ tal que para todo $k\in\mathbb{N},k>k_0$ , existe un número finito de líneas en el plano no todas paralelas a una de ellas, que dividen el plano exactamente en $k$ regiones. Encontrar $k_0$ .

Sea $M$ un conjunto y $A,B,C$ subconjuntos dados de $M$ . Encontrar una condición necesaria y suficiente para la existencia de un conjunto $X\subset M$ para el cual $(X\cup A)\backslash(X\cap B)=C$ . Describir todos estos conjuntos.

Demostrar que para todo $n\in\mathbb{N}$ , $n\sqrt{2}-\lfloor n\sqrt{2}\rfloor>\frac{1}{2n \sqrt{2}}$ y que para todo $\epsilon >0$ , existe un $n\in\mathbb{N}$ tal que $ n\sqrt{2}-\lfloor n\sqrt{2}\rfloor < \frac{1}{2n \sqrt{2}}+\epsilon$ .