Para enteros positivos $k$ y $n$, exprese el número de permutaciones $P=x_1x_2...x_{2n}$ que consisten en $A$ y $B$ que satisfacen las tres condiciones siguientes, usando $k$ y $n$.\n$(i)$ $A, B$ aparecen exactamente $n$ veces respectivamente en $P$.\n$(ii)$ Para cada $1\le i\le n$, si denotamos el número de $A$ en $x_1,x_2,...,x_i$ como $a_i$, entonces $\mid 2a_i -i\mid \le 1$.\n$(iii)$ $AB$ aparece exactamente $k$ veces en $P$. (Por ejemplo, $AB$ aparece 3 veces en $ABBABAAB$)