$ABC$ es un triángulo que no es isósceles. Sean el circuncentro y el ortocentro de $ABC$, $O$, $H$, respectivamente, y las alturas de $ABC$ sean $AD$, $BC$, $CF$. Sea $K\neq A$ la intersección de $AD$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$, $L$ la intersección de $OK$ y $BC$, $M$ el punto medio de $BC$, $P$ la intersección de $AM$ y la línea que pasa por $L$ y es perpendicular a $BC$, $Q$ la intersección de $AD$ y la línea que pasa por $P$ y es paralela a $MH$, $R$ la intersección de la línea $EQ$ y $AB$, $S$ la intersección de $FD$ y $BE$. Si $OL = KL$, entonces demuestre que dos líneas $OH$ y $RS$ son ortogonales.

Para todos los reales positivos $a$, $b$ y $c$, ¿cuál es el valor de la constante positiva $k$ que satisface la siguiente desigualdad?\n$\frac{a}{c+kb}+\frac{b}{a+kc}+\frac{c}{b+ka}\geq\frac{1}{2007}$.

Dos secuencias reales $\{x_{n}\}$ y $\{y_{n}\}$ satisfacen la siguiente fórmula de recurrencia; $x_{0}= 1$, $y_{0}= 2007$ \n$x_{n+1}= x_{n}-(x_{n}y_{n}+x_{n+1}y_{n+1}-2)(y_{n}+y_{n+1})$, $y_{n+1}= y_{n}-(x_{n}y_{n}+x_{n+1}y_{n+1}-2)(x_{n}+x_{n+1})$\nEntonces demuestre que para todo entero no negativo $n$, ${x_{n}}^{2}\leq 2007$.

Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos cuyos dígitos son $1$ o $2$. Denotemos $T_{n}$ como el conjunto de todos los enteros que son divisibles por $n$, entonces encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $S\cap T_{n}$ es un conjunto infinito.

$A_{1}B_{1}B_{2}A_{2}$ es un cuadrilátero convexo y $A_{1}B_{1}\neq A_{2}B_{2}$. Demuestre que existe un punto $M$ tal que \n$\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{MA_{1}}{MA_{2}}=\frac{MB_{1}}{MB_{2}}$

Considere la cadena de longitud $6$ compuesta por tres caracteres $a$, $b$, $c$. Para cada cadena, si dos $a$s están una al lado de la otra, o dos $b$s están una al lado de la otra, entonces reemplace $aa$ por $b$, y reemplace $bb$ por $a$. Además, si $a$ y $b$ están una al lado de la otra, o dos $c$s están una al lado de la otra, elimine las dos (es decir, elimine $ab$, $ba$, $cc$). Determine la cantidad de cadenas que se pueden reducir a $c$, la cadena de longitud 1, mediante los procesos de reducción mencionados anteriormente.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que el cuadrilátero $ABDE$ es un paralelogramo y el cuadrilátero $BCDE$ está inscrito en un círculo. El círculo con centro $C$ y radio $CD$ interseca la línea $BD, DE$ en los puntos $F, G(\neq D)$ , y los puntos $A, F, G$ están en la línea l. Sea $H$ el punto de intersección de la línea $l$ y el segmento $BC$ . Considere el conjunto de círculos $\Omega$ que satisfacen la siguiente condición. El círculo $\Omega$ pasa por $A, H$ e interseca los lados $AB, AE$ en un punto distinto de $A$ . Sean $P, Q(\neq A)$ el punto de intersección del círculo $\Omega$ y los lados $AB, AE$ . Demuestre que $AP+AQ$ es constante.

Para algún entero positivo $n$ , existen $n$ enteros positivos diferentes $a_1, a_2, ..., a_n$ tales que $(1)$ $a_1=1, a_n=2000$ $(2)$ $\forall i\in \mathbb{Z}$ $s.t.$ $2\le i\le n, a_i -a_{i-1}\in \{-3,5\}$ Determine el valor máximo de n.

Encuentre un par de enteros positivos coprimos $(m,n)$ distintos de $(41,12)$ tales que $m^2-5n^2$ y $m^2+5n^2$ sean ambos cuadrados perfectos.

Hay n niños y m niñas en la Escuela Secundaria Matemática Daehan. Sea $d(B)$ el número de niñas que conocen al niño $B$ entre sí, y sea $d(G)$ el número de niños que conocen a la niña $G$ entre sí. Cada niña conoce al menos a un niño entre sí. Demuestre que existe un niño $B$ y una niña $G$ que se conocen entre sí en la condición de que $\frac{d(B)}{d(G)}\ge\frac{m}{n}$ .