Encuentra todos los pares $(x,y)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $x^2-xy+2x-3y=2013$.

Un evento ocurre hace muchos años. Ocurre periódicamente en $x$ años consecutivos, luego hay un descanso de $y$ años consecutivos. Sabemos que el evento ocurrió en $1964$, $1986$, $1996$, $2008$ y no ocurrió en $1976$, $1993$, $2006$, $2013$. ¿Cuál es el primer año en que el evento ocurrirá nuevamente?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. La circunferencia con diámetro $AB$ interseca los lados $AC$ y $BC$ en $E$ y $F$ respectivamente. Las líneas tangentes a la circunferencia en los puntos $E$ y $F$ se encuentran en $P$. Demuestra que $P$ pertenece a la altura desde $C$ del triángulo $ABC$.

Si Xiluva pone dos naranjas en cada canasta, sobran cuatro naranjas. Si pone cinco naranjas en cada canasta, sobra una canasta. ¿Cuántas naranjas y canastas tiene Xiluva?

Sea $\Pi$ el conjunto de paralelepípedos rectangulares que tienen al menos una arista de longitud entera. Si un paralelepípedo rectangular $P_0$ puede ser descompuesto en paralelepípedos $P_1, P_2, ..., P_N \in \Pi$, demuestre que $P_0 \in \Pi$.

Pruebe que las ecuaciones funcionales \[f(x + y) = f(x) + f(y),\] \[ \text{and} \qquad f(x + y + xy) = f(x) + f(y) + f(xy) \quad (x, y \in \mathbb R)\] son equivalentes.

Sea $S$ un círculo unitario y $K$ un subconjunto de $S$ que consta de varios arcos cerrados. Sea $K$ satisface las siguientes propiedades: $(\text{i})$ $K$ contiene tres puntos $A,B,C$, que son los vértices de un triángulo acutángulo $(\text{ii})$ Para cada punto $A$ que pertenece a $K$ su punto diametralmente opuesto $A'$ y todos los puntos $B$ en un arco de longitud $\frac{1}{9}$ con centro $A'$ no pertenecen a $K$. Pruebe que hay tres puntos $E,F,G$ en $S$ que son vértices de un triángulo equilátero y que no pertenecen a $K$.

Denotemos el número de diferentes divisores primos del número $n$ por $\omega (n)$, donde $n$ es un entero mayor que $1$. Pruebe que existen infinitos números $n$ para los cuales $\omega (n)< \omega (n+1)<\omega (n+2)$ se cumple.

Por $h(n)$, donde $n$ es un entero mayor que $1$, denotemos el mayor divisor primo del número $n$. ¿Hay infinitos números $n$ para los cuales $h(n) < h(n+1)< h(n+2)$ se cumple?

Suponga que un triángulo cuyos lados son de longitudes enteras está inscrito en un círculo de diámetro $6.25$. Encuentre los lados del triángulo.