2 En el plano coordenado, los puntos cuyas dos coordenadas son números racionales se llaman puntos racionales. Para cualquier entero positivo $n$ , ¿existe una manera de usar $n$ colores para colorear todos los puntos racionales, cada punto se colorea con un color, tal que cualquier segmento de recta cuyos dos extremos son puntos racionales contenga puntos racionales de cada color?

5 En el plano se dan un punto $O$ y una sucesión de puntos $P_1, P_2, P_3, \ldots$ . Las distancias $OP_1, OP_2, OP_3, \ldots$ son $r_1, r_2, r_3, \ldots$ Sea $\alpha$ que satisface $0 < \alpha < 1.$ Suponga que para todo $n$ la distancia desde el punto $P_n$ a cualquier otro punto de la sucesión es $\geq r^{\alpha}_n.$ Determine el exponente $\beta$ , lo más grande posible, tal que para alguna $C$ independiente de $n$ \[r_n \geq Cn^{\beta}, n = 1,2, \ldots\]

3 En el cuadrilátero cíclico $ABCD$ , $AB>BC$ , $AD>DC$ , $I,J$ son los incentros de $\triangle ABC$ , $\triangle ADC$ respectivamente. El círculo con diámetro $AC$ corta al segmento $IB$ en $X$ , y a la prolongación de $JD$ en $Y$ . Demuestre que si los cuatro puntos $B,I,J,D$ son concíclicos, entonces $X,Y$ son las reflexiones uno del otro respecto a $AC$ .

5 Sea $ n$ un entero positivo par. Sean $ A_1, A_2, \ldots, A_{n + 1}$ conjuntos que tienen $ n$ elementos cada uno, tales que cualesquiera dos de ellos tienen exactamente un elemento en común, mientras que todo elemento de su unión pertenece al menos a dos de los conjuntos dados. ¿Para cuáles $ n$ se puede asignar a cada elemento de la unión uno de los números 0 y 1 de manera que cada uno de los conjuntos tenga exactamente $ \frac {n}{2}$ ceros?

C3 Para un conjunto finito $A$ de enteros positivos, una partición de $A$ en dos subconjuntos no vacíos disjuntos $A_1$ y $A_2$ es $\textit{good}$ si el mínimo común múltiplo de los elementos de $A_1$ es igual al máximo común divisor de los elementos de $A_2$ . Determine el valor mínimo de $n$ tal que existe un conjunto de $n$ enteros positivos con exactamente $2015$ particiones buenas.

C4 Sea $n$ un entero positivo. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan un juego en el que, por turnos, eligen enteros positivos $k \le n$ . Las reglas del juego son: (i) Un jugador no puede elegir un número que haya sido elegido por cualquiera de los jugadores en un turno anterior. (ii) Un jugador no puede elegir un número consecutivo a cualquiera de los que el jugador ya haya elegido en un turno anterior. (iii) El juego es un empate si todos los números han sido elegidos; en caso contrario, el jugador que ya no puede elegir ningún número pierde el juego. El jugador $A$ toma el primer turno. Determine el resultado del juego, suponiendo que ambos jugadores usan estrategias óptimas. Propuesto por Finlandia

C5 La sucesión $a_1,a_2,\dots$ de enteros satisface las condiciones: (i) $1\le a_j\le2015$ para todo $j\ge1$ , (ii) $k+a_k\neq \ell+a_\ell$ para todos $1\le k<\ell$ . Demuestre que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ para los cuales \[\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2\] para todos los enteros $m$ y $n$ tales que $n>m\ge N$ . Propuesto por Ivan Guo y Ross Atkins, Australia

C6 Sea $S$ un conjunto no vacío de enteros positivos. Decimos que un entero positivo $n$ es limpio si tiene una representación única como suma de un número impar de elementos distintos de $S$ . Demuestre que existen infinitos enteros positivos que no son limpios.

C7 En una compañía de personas algunos pares son enemigos. Un grupo de personas se llama insociable si el número de miembros del grupo es impar y al menos $3$ , y es posible sentar a todos sus miembros alrededor de una mesa redonda de modo que cada dos vecinos sean enemigos. Dado que hay a lo sumo $2015$ grupos insociables, demuestre que es posible particionar la compañía en $11$ partes de modo que no haya dos enemigos en la misma parte. Propuesto por Rusia

Sea $n \geq 3$ un entero. Una sucesión $P_1, P_2, \ldots, P_n$ de puntos distintos en el plano se llama buena si no hay tres de ellos colineales, la polilínea $P_1P_2 \ldots P_n$ no se auto-interseca y el triángulo $P_iP_{i + 1}P_{i + 2}$ está orientado en sentido antihorario para cada $i = 1, 2, \ldots, n - 2$. Para cada entero $n \geq 3$ determina el mayor entero posible $k$ con la siguiente propiedad: existen $n$ puntos distintos $A_1, A_2, \ldots, A_n$ en el plano para los cuales hay $k$ permutaciones distintas $\sigma : \{1, 2, \ldots, n\} \to \{1, 2, \ldots, n\}$ tales que $A_{\sigma(1)}, A_{\sigma(2)}, \ldots, A_{\sigma(n)}$ es buena. (Una polilínea $P_1P_2 \ldots P_n$ consiste en los segmentos $P_1P_2, P_2P_3, \ldots, P_{n - 1}P_n$.)