10 Dos círculos $C_{1}$ y $C_{2}$ son (externa o internamente) tangentes en un punto $P$. La recta $D$ es tangente en $A$ a uno de los círculos y corta al otro círculo en los puntos $B$ y $C$. Demuestra que la recta $PA$ es una bisectriz interior o exterior del ángulo $\angle BPC$.

B1 Se dice que una función $f : \{1,2,\dots,n \} \to \{ m+1,m+2,\dots,m+n \}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos, es beaut si a) $a$ divide a $f(a)$ para todo $a \in \{1,2,\dots,n \}$ , y b) $f(a) \neq f(b)$ para todos los elementos distintos $a$ y $b$ de $\{1,2,\dots,n\}$ con $\gcd(a,b) \neq 1$ . Determine todos los enteros positivos $n$ tales que, para todo entero positivo $m$ , existe una función beaut $f : \{1,2,\dots,n\} \to \{m+1,m+2,\dots,m+n \}$ .

2 Un entero positivo $k\geqslant 3$ se llama *fibby* si existe un entero positivo $n$ y enteros positivos $d_1 < d_2 < \ldots < d_k$ con las siguientes propiedades: $\bullet$ $d_{j+2}=d_{j+1}+d_j$ para todo $j$ que cumpla $1\leqslant j \leqslant k-2$, $\bullet$ $d_1, d_2, \ldots, d_k$ son divisores de $n$, $\bullet$ cualquier otro divisor de $n$ es o bien menor que $d_1$ o bien mayor que $d_k$. Encuentra todos los números fibby. Propuesto por Ivan Novak.

10 Demuestre que el producto de cinco enteros positivos consecutivos no puede ser el cuadrado de un entero. Amir

3 Se dan dos tipos de baldosas, representados en la figura siguiente. https://wiki-images.artofproblemsolving.com//2/23/Izrezak.PNG Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que un tablero de $n\times n$ formado por $n^2$ cuadrados unitarios puede cubrirse sin huecos con estos dos tipos de baldosas (se permiten rotaciones y reflexiones) de modo que no haya dos baldosas superpuestas y ninguna parte de una baldosa cubra una zona fuera del tablero de $n\times n$. Propuesto por Art Waeterschoot

8 De una colección de $n$ personas se seleccionan $q$ equipos distintos de dos miembros y se clasifican $1, \cdots, q$ (sin empates). Sea $m$ el menor entero mayor o igual que $2q/n$ . Demuestre que hay $m$ equipos distintos que pueden listarse de modo que: (i) cada par de equipos consecutivos de la lista tenga un miembro en común y (ii) la cadena de equipos de la lista esté en orden de clasificación. Formulación alternativa. Dado un grafo con $n$ vértices y $q$ aristas numeradas $1, \cdots , q$ , demuestre que existe una cadena de $m$ aristas, $m \geq \frac{2q}{n}$ , en la que cada dos aristas consecutivas tienen un vértice común, dispuestas monótonamente con respecto a la numeración. Amir

15 Todos los ángulos de un triángulo dado $ABC$ son menores que $120^\circ$ . Se construyen triángulos equiláteros $AFB, BDC$ y $CEA$ en el exterior de $ABC$ . (a) Demuestre que las rectas $AD, BE$ y $CF$ pasan por un mismo punto $S.$ (b) Demuestre que $SD + SE + SF = 2(SA + SB + SC).$ Amir

16 Sean $a,b,c,d$ enteros impares tales que $0<a<b<c<d$ y $ad=bc$ . Demuestre que si $a+d=2^k$ y $b+c=2^m$ para algunos enteros $k$ y $m$ , entonces $a=1$ .

17 En una permutación $(x_1, x_2, \dots , x_n)$ del conjunto $1, 2, \dots , n$ llamamos discordante a un par $(x_i, x_j )$ si $i < j$ y $x_i > x_j$ . Sea $d(n, k)$ el número de tales permutaciones con exactamente $k$ pares discordantes. Halle $d(n, 2)$ y $d(n, 3).$ Amir

2 Halle todas las ternas ( $a$ , $b$ , $n$ ) de enteros positivos tales que $$a^3=b^2+2^n$$