1 Dado un triángulo $ ABC$ con ángulo $ C \geq 60^{\circ}$ . Demuestre que: $ \left(a + b\right) \cdot \left(\frac {1}{a} + \frac {1}{b} + \frac {1}{c} \right) \geq 4 + \frac {1}{\sin\left(\frac {C}{2}\right)}.$

2 Halle todas las funciones $f,g,h: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tales que $f(x) - g(y) = (x-y) \cdot h(x+y)$ para $x,y \in \mathbb{R}.$

A3 Para una sucesión $x_1,x_2,\ldots,x_n$ de números reales, definimos su $\textit{price}$ como \[\max_{1\le i\le n}|x_1+\cdots +x_i|.\] Dados $n$ números reales, Dave y George quieren ordenarlos en una sucesión con un precio bajo. El diligente Dave comprueba todas las maneras posibles y encuentra el precio mínimo posible $D$ . El codicioso George, por otro lado, elige $x_1$ tal que $|x_1 |$ sea lo más pequeño posible; entre los números restantes, elige $x_2$ tal que $|x_1 + x_2 |$ sea lo más pequeño posible, y así sucesivamente. Así, en el paso $i$ - ésimo elige $x_i$ entre los números restantes de modo de minimizar el valor de $|x_1 + x_2 + \cdots x_i |$ . En cada paso, si varios números proporcionan el mismo valor, George elige uno al azar. Finalmente obtiene una sucesión con precio $G$ . Halle la menor constante posible $c$ tal que para todo entero positivo $n$ , para toda colección de $n$ números reales, y para toda sucesión posible que George pudiera obtener, los valores resultantes satisfagan la desigualdad $G\le cD$ . Propuesto por Georgia

3 Demuestre que para toda potencia entera de 2, existe un múltiplo de ella cuyas cifras (en su expresión decimal) son todas distintas de cero.

4 Hay 7 puntos arbitrarios en el plano. Se trazan circunferencias por cada 4 puntos concíclicos posibles. Halle el número máximo de circunferencias que se pueden trazar.

1 Un triángulo de lados $\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}, \sqrt{2}$ se dobla a lo largo de una recta variable perpendicular al lado de $\frac{3}{2}.$ Halle el valor máximo del área coincidente.

2 Sean $v_0 = 0, v_1 = 1$ y $v_{n+1} = 8 \cdot v_n - v_{n-1},$ $n = 1,2, ...$ . Demuestre que en la sucesión $\{v_n\}$ no hay términos de la forma $3^{\alpha} \cdot 5^{\beta}$ con $\alpha, \beta \in \mathbb{N}.$

3 Halle el mayor $n$ tal que $(z+1)^n = z^n + 1$ tenga todas sus raíces no nulas en la circunferencia unitaria, es decir, $(\alpha+1)^n = \alpha^n + 1, \alpha \neq 0$ implica $|\alpha| = 1.$

4 Dado el triángulo $ABC$ , se construyen exteriormente los cuadrados $ABEF, BCGH, CAIJ$ sobre los lados $AB, BC, CA$ , respectivamente. Sean $AH \cap BJ = P_1$ , $BJ \cap CF = Q_1$ , $CF \cap AH = R_1$ , $AG \cap CE = P_2$ , $BI \cap AG = Q_2$ , $CE \cap BI = R_2$ . Demuestre que el triángulo $P_1 Q_1 R_1$ es congruente con el triángulo $P_2 Q_2 R_2$ .

4 Se nos dan $n$ puntos en el espacio. Algunos pares de estos puntos están conectados por segmentos de recta de modo que el número de segmentos es igual a $[n^2/4],$ y existe un triángulo conectado. Demuestre que todo punto del que parte el número máximo de segmentos es un vértice de un triángulo conectado. Amir