A) Sean $x,y$ dos números complejos en el círculo unitario de modo que: $\frac{\pi }{3} \le \arg (x)-\arg (y) \le \frac{5 \pi }{3}$ Pruebe que para cualquier $z \in \mathbb{C}$ tenemos: $|z|+|z-x|+|z-y| \ge |zx-y|$ B) Sean $x,y$ dos números complejos de modo que: $\frac{\pi }{3} \le \arg (x)-\arg (y) \le \frac{2 \pi }{3}$ Pruebe que para cualquier $z \in \mathbb{C}$ tenemos: $|z|+|z-y|+|z-x| \ge | \frac{\sqrt{3}}{2} x +(y-\frac{x}{2})i|$

Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R}^{\ge 0} \to \mathbb{R}^{\ge 0}$ tal que: $f(x^3+xf(xy))=f(xy)+x^2f(x+y) \forall x,y \in \mathbb{R}^{\ge 0}$

Para números reales positivos $a,b,c$ tales que $ab+ac+bc=1$ pruebe que: $\prod\limits_{cyc} (\sqrt{bc}+\frac{1}{2a+\sqrt{bc}}) \ge 8abc$

El incirculo del triangulo $ABC$ , es tangente a los lados $BC,CA$ y $AB$ en $D,E$ y $F$ respectivamente. El reflejo de $F$ con respecto a $B$ y el reflejo de $E$ con respecto a $C$ son $T$ y $S$ respectivamente. Demuestra que el incentro del triangulo $AST$ esta dentro o en el incirculo del triangulo $ABC$ .

Considera el polinomio de segundo grado $x^2+ax+b$ con coeficientes reales. Sabemos que la condicion necesaria y suficiente para que este polinomio tenga raices en numeros reales es que su discriminante, $a^2-4b$ sea mayor o igual a cero. Note que el discriminante es tambien un polinomio con variables $a$ y $b$ . Demuestra que la misma historia no es cierta para polinomios de grado $4$ : Demuestra que no existe un polinomio de $4$ variables $P(a,b,c,d)$ tal que: El polinomio de cuarto grado $x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ puede ser escrito como el producto de cuatro polinomios de grado $1$ si y solo si $P(a,b,c,d)\ge 0$ . (Todos los coeficientes son numeros reales.)

a) ¿Existen subconjuntos de $2$ elementos $A_1,A_2,A_3,...$ de numeros naturales tales que cada numero natural aparece en exactamente uno de estos conjuntos y ademas para cada numero natural $n$ , la suma de los elementos de $A_n$ es igual a $1391+n$ ?\nb) ¿Existen subconjuntos de $2$ elementos $A_1,A_2,A_3,...$ de numeros naturales tales que cada numero natural aparece en exactamente uno de estos conjuntos y ademas para cada numero natural $n$ , la suma de los elementos de $A_n$ es igual a $1391+n^2$ ?

Tenemos un rectángulo con sus lados siendo un espejo. Un rayo de luz entra desde una de las esquinas del rectángulo y después de ser reflejado varias veces entra a la esquina opuesta desde donde comenzó. Demuestra que en algún momento el rayo de luz pasó por el centro del rectángulo (intersección de las diagonales).

Sea $c\in\mathbb C$ y $A_c = \{p\in \mathbb C[z]|p(z^2 + c) = p(z)^2 + c\}$ . a) Demuestre que para cada $c\in C$ , $A_c$ es infinito. b) Demuestre que si $p\in A_1$ , y $p(z_0) = 0$ , entonces $ |z_0| < 1.7$ . c) Demuestre que cada elemento de $A_c$ es par o impar. Sea $f_c = z^2 + c\in \mathbb C[z]$ . Vemos fácilmente que $B_c: = \{z,f_c(z),f_c(f_c(z)),\dots\}$ es un subconjunto de $A_c$ . Demuestre que en los siguientes casos $A_c = B_c$ . d) $ |c| > 2$ . e) $ c\in \mathbb Q\backslash\mathbb Z$ . f) $ c$ es un número no algebraico g) $ c$ es un número real y $ c\not\in [ - 2,\frac14]$.

Hay $n$ puntos en $\mathbb R^3$ tales que cada tres forman un triángulo acutángulo. Encuentre el máximo de $n$.

$S\subset\mathbb N$ se llama un conjunto cuadrado, si y solo si para cada $x,y\in S$ , $xy+1$ es el cuadrado de un entero. a) ¿Es $S$ finito? b) Encuentre el número máximo de elementos de $S$.