En un cuadrilátero $ABCD$ , $E$ y $F$ están en $BC$ y $AD$ respectivamente tales que el área de los triángulos $AED$ y $BCF$ es $\frac{4}{7}$ del área de $ABCD$ . $R$ es el punto de intersección de las diagonales de $ABCD$ . $\frac{AR}{RC}=\frac{3}{5}$ y $\frac{BR}{RD}=\frac{5}{6}$ . a) ¿En qué proporción corta $EF$ las diagonales? b) Encuentre $\frac{AF}{FD}$ .

En un triángulo $ABC$ , $O$ es el circuncentro e $I$ es el incentro. $X$ es la reflexión de $I$ a $O$ . $A_1$ es el pie de la perpendicular de $X$ a $BC$ . $B_1$ y $C_1$ se definen de manera similar. Demuestre que $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$ son concurrentes.

$g$ y $n$ son números naturales tales que $gcd(g^2-g,n)=1$ y $A=\{g^i|i \in \mathbb N\}$ y $B=\{x\equiv (n)|x\in A\}$ (por $x\equiv (n)$ queremos decir un número del conjunto $\{0,1,...,n-1\}$ que es congruente con $x$ módulo $n$ ) . Si para $0\le i\le g-1$ $a_i=|[\frac{ni}{g},\frac{n(i+1)}{g})\cap B]|$ demuestre que $g-1|\sum_{i=0}^{g-1}ia_i$ . (el símbolo $|$ $|$ significa el número de elementos del conjunto)

Demuestre que si $p$ es un número primo tal que $p=12k+\{2,3,5,7,8,11\}$ ( $k \in \mathbb N \cup \{0\}$ ) , existe un campo con $p^2$ elementos.

Suponga que $\sigma_k:\mathbb N \longrightarrow \mathbb R$ es una función tal que $\sigma_k(n)=\sum_{d|n}d^k$ . $\rho_k:\mathbb N \longrightarrow \mathbb R$ es una función tal que $\rho_k\ast \sigma_k=\delta$ . Encuentre una fórmula para $\rho_k$ .

Si $p$ es un número primo, ¿cuál es el producto de elementos como $g$ tales que $1\le g\le p^2$ y $g$ es una raíz primitiva módulo $p$ pero no es una raíz primitiva módulo $p^2$ , módulo $p^2$ ?

$R$ es un anillo tal que $xy=yx$ para cada $x,y\in R$ y si $ab=0$ entonces $a=0$ o $b=0$ . Si para cada Ideal $I\subset R$ existe $x_1,x_2,..,x_n$ en $R$ ( $n$ no es constante) tal que $I=(x_1,x_2,...,x_n)$ , demuestre que cada elemento en $R$ que no es $0$ y no es una unidad, es el producto de elementos irreducibles finitos.

Suponga que $a=3^{100}$ y $b=5454$ . ¿Cuántos $z$ en $[1,3^{99})$ existen tales que para cada $c$ que $gcd(c,3)=1$ , dos ecuaciones $x^z\equiv c$ y $x^b\equiv c$ (mod $a$ ) tienen el mismo número de respuestas?

Sea $P(x)$ un polinomio no nulo con coeficiente real tal que $P(0)=0$. Pruebe que para cualquier número real positivo $M$ existe un entero positivo $d$ de modo que para cualquier polinomio mónico $Q(x)$ con grado al menos $d$ el número de enteros $k$ de modo que $|P(Q(k))| \le M$ es a lo sumo igual al grado de $Q$.

Sea $n$ un entero positivo. Considere todas las cadenas binarias de longitud $n$. Decimos que dos de estas cadenas son vecinas si difieren en exactamente 1 dígito. Hemos coloreado $m$ cadenas. En cada momento, podemos colorear cualquier cadena sin colorear que sea vecina con al menos 2 cadenas coloreadas. Después de un tiempo, todas las cadenas están coloreadas. Encuentre el valor mínimo posible de $m$.