Los círculos $C_1,C_2$ se intersecan en $P$. Se dibuja una línea $\Delta$ arbitrariamente desde $P$ y se interseca con $C_1,C_2$ en $B,C$. ¿Cuál es el lugar geométrico de $A$ tal que la mediana $AM$ del triángulo $ABC$ tiene una longitud fija $k$ ?

Sean $A,B,C,Q$ puntos fijos en el plano. $M,N,P$ son los puntos de intersección de $AQ,BQ,CQ$ con $BC,CA,AB$. $D',E',F'$ son los puntos de tangencia del incírculo de $ABC$ con $BC,CA,AB$. Las tangentes dibujadas desde $M,N,P$ (no los lados del triángulo) al incírculo de $ABC$ forman el triángulo $DEF$. Demuestre que $DD',EE',FF'$ se intersecan en $Q$.

$A,B$ son puntos fijos. La línea variable $l$ pasa por el punto fijo $C$. Hay dos círculos que pasan por $A,B$ y son tangentes a $l$ en $M,N$. Demuestre que el circuncírculo de $AMN$ pasa por un punto fijo.

Encuentre todas las secuencias recursivas lineales homogéneas tales que haya un $T$ tal que $a_n=a_{n+T}$ para cada $n$.

Sea $a_1=a_2=1$ y \[ a_{n+2}=\frac{n(n+1)a_{n+1}+n^2a_n+5}{n+2}-2\] para cada $n\in\mathbb N$ . Encuentre todos los $n$ tales que $a_n\in\mathbb N$.

Sea $ABC$ un triángulo. $W_a$ es un círculo con centro en $BC$ que pasa por $A$ y es perpendicular al circuncírculo de $ABC$. $W_b,W_c$ se definen de manera similar. Demuestre que los centros de $W_a,W_b,W_c$ son colineales.

Suponga que $M$ es un punto arbitrario en el lado $BC$ del triángulo $ABC$. $B_1,C_1$ son puntos en $AB,AC$ tales que $MB = MB_1$ y $MC = MC_1$. Suponga que $H,I$ son el ortocentro del triángulo $ABC$ y el incentro del triángulo $MB_1C_1$. Demuestre que $A,B_1,H,I,C_1$ se encuentran en un círculo.

Un entero $n$ se llama un buen número si y solo si $ |n|$ no es el cuadrado de otro entero. Encuentre todos los enteros $m$ tales que puedan escribirse de infinitas maneras como la suma de tres números buenos diferentes y el producto de estos tres números es el cuadrado de un número impar.

En el tetraedro $ABCD$, los radios de los cuatro circuncírculos de las cuatro caras son iguales. Demuestre que $AB=CD$ , $AC=BD$ y $AD=BC$.

Se le da una calculadora simple. (Contiene 8 dígitos y solo hace las operaciones +,-,*,/ , $ \sqrt{\mbox{}}$ ) ¿Cómo puede encontrar $3^{\sqrt{2}}$ con una precisión de 6 dígitos?