6 Sea $c$ un entero positivo. La sucesión $\{f_n\}$ se define de la siguiente manera: \[f_1 = 1, f_2 = c, f_{n+1} = 2f_n - f_{n-1} + 2 \quad (n \geq 2).\] Demuestre que para cada $k \in \mathbb N$ existe $r \in \mathbb N$ tal que $f_kf_{k+1}= f_r.$ Amir

7 (a) Decida si las casillas del tablero de ajedrez $8 \times 8$ pueden numerarse con los números $1, 2, \dots , 64$ de manera que la suma de los cuatro números de cada una de sus partes de una de las formas http://www.artofproblemsolving.com/Forum/download/file.php?id=28446 sea divisible por cuatro. (b) Resuelva el problema análogo para http://www.artofproblemsolving.com/Forum/download/file.php?id=28447 Amir

6 Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ una función de valores reales definida sobre el conjunto de los números reales que satisface \[f(x + y) \leq yf(x) + f(f(x))\] para todos los números reales $x$ y $y$ . Demuestre que $f(x) = 0$ para todo $x \leq 0$ . Propuesto por Igor Voronovich, Bielorrusia Amir

8 Dados los puntos $O$ y $A$ en el plano. Todo punto del plano está coloreado con uno de un número finito de colores. Dado un punto $X$ del plano, la circunferencia $C(X)$ tiene centro $O$ y radio $OX+{\angle AOX\over OX}$ , donde $\angle AOX$ se mide en radianes en el intervalo $[0,2\pi)$ . Demuestre que podemos encontrar un punto $X$ , que no esté sobre $OA$ , tal que su color aparezca en la circunferencia de $C(X)$ .

3 Sean $ z_{1},z_{2},z_{3}$ tres números complejos de módulos menores o iguales que $ 1$ . $ w_{1},w_{2}$ son dos raíces de la ecuación $ (z - z_{1})(z - z_{2}) + (z - z_{2})(z - z_{3}) + (z - z_{3})(z - z_{1}) = 0$ . Demuestre que, para $ j = 1,2,3$ , se cumple $\min\{|z_{j} - w_{1}|,|z_{j} - w_{2}|\}\leq 1$ . Fang-jh

3 Sean $ n>m>1$ enteros impares, y sea $ f(x)=x^n+x^m+x+1$ . Demuestre que $ f(x)$ no se puede expresar como el producto de dos polinomios con coeficientes enteros y grados positivos. Fang-jh

3 El triángulo $ ABC$ está inscrito en una circunferencia. Las bisectrices interiores de los ángulos $ A,B$ y $ C$ intersecan nuevamente a la circunferencia en $ A', B'$ y $ C'$ respectivamente. Demuestre que el área del triángulo $ A'B'C'$ es mayor o igual que el área del triángulo $ ABC.$

9 Sean $a, b, c$ números positivos con $\sqrt a +\sqrt b +\sqrt c = \frac{\sqrt 3}{2}$ . Demuestre que el sistema de ecuaciones \[\sqrt{y-a}+\sqrt{z-a}=1,\] \[\sqrt{z-b}+\sqrt{x-b}=1,\] \[\sqrt{x-c}+\sqrt{y-c}=1\] tiene exactamente una solución $(x, y, z)$ en números reales. Amir

10 Demuestre que el producto de cinco enteros positivos consecutivos no puede ser el cuadrado de un entero. Amir

8.4 En un hexágono convexo $ABCDEF$ se cumplen las igualdades $\angle ABC= \angle CDE= \angle EFA$ , y las bisectrices de los ángulos $ABC$ , $CDE$ y $EFA$ se intersecan en un punto. Los rayos $AB$ y $DC$ se intersecan en $P$ , los rayos $BC$ y $ED$ en $Q$ , los rayos $CD$ y $FE$ en $R$ , y los rayos $DE$ y $AF$ en $S$ . Demuestre que $PR=QS$ . M. Zorka