Desde cada vértice del triángulo $ABC$ dibujamos 3 líneas paralelas arbitrarias, y desde cada vértice dibujamos una perpendicular a estas líneas. Hay 3 rectángulos tales que una de sus diagonales es el lado del triángulo. Dibujamos sus otras diagonales y las llamamos $\ell_1$ , $\ell_2$ y $\ell_3$ . a) Demuestre que $\ell_1$ , $\ell_2$ y $\ell_3$ son concurrentes en un punto $P$ . b) Encuentre el lugar geométrico de $P$ al mover las 3 líneas arbitrarias.

Tenemos un triángulo isogonal $ABC$ tal que $BC=AB$. Tomar un $P$ aleatorio en la altitud de $B$ a $AC$. El círculo $(ABP)$ interseca a $AC$ una segunda vez en $M$. Tomar $N$ tal que está en el segmento $AC$ y $AM=NC$ y $M \neq N$. La segunda intersección de $NP$ y el círculo $(APB)$ es $X$, ($X \neq P$) y la segunda intersección de $AB$ y el círculo $(APN)$ es $Y$, ($Y \neq A$). La tangente desde $A$ al círculo $(APN)$ interseca la altitud desde $B$ en $Z$. Demuestre que $CZ$ es tangente al círculo $(PXY)$.

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que para cualquier valor real de $x,y$ tenemos: $$f(xf(y)+f(x)+y)=xy+f(x)+f(y)$$

Sean $E$ y $F$ en $AC$ y $AB$ respectivamente en $\triangle ABC$ tal que $DE || BC$, luego dibuje la línea $l$ a través de $A$ tal que $l || BC$. Sean $D'$ y $E'$ las reflexiones de $D$ y $E$ con respecto a $l$ respectivamente. Demuestre que $D'B, E'C$ y $l$ son congruentes.

En esta pregunta debe hacer todos los números de un reloj, cada uno usando 2, exactamente 3 veces y símbolos matemáticos. No se le permite usar alfabetos y palabras en inglés como $ \sin$ o $ \lim$ o $ a,b$ y ningún otro dígito.

Un anillo es el área entre dos círculos con el mismo centro, y el ancho de un anillo es la diferencia entre los radios de dos círculos. a) ¿Podemos colocar incontables anillos disjuntos de ancho 1 (no necesariamente iguales) en el espacio de tal manera que cada dos de ellos no puedan separarse? b) ¿Cuál es la respuesta si 1 se reemplaza con 0?

Los científicos han logrado encontrar nuevos números entre los números reales con microscopios potentes. Ahora los números reales se extienden en un nuevo sistema más grande, tenemos un orden en él (que induce el orden normal en $ \mathbb R$ ) , y también 4 operaciones suma, multiplicación,... y estas operaciones tienen todas las propiedades iguales a $ \mathbb R$ . a) Demuestre que en este sistema más grande hay un número que es menor que cada entero positivo y es mayor que cero. b) Demuestre que ninguno de estos números es raíz de un polinomio en $ \mathbb R[x]$ .

Mire estas fracciones. En el primer paso tenemos $ \frac{0}{1}$ y $ \frac{1}{0}$ , y en cada paso escribimos $ \frac{a+b}{c+d}$ entre $ \frac{a}{b}$ y $ \frac{c}{d}$ , y hacemos esto para siempre \[ \begin{array}{ccccccccccccccccccccccccc}\frac{0}{1}&&&&&&&&\frac{1}{0}\ \frac{0}{1}&&&&\frac{1}{1}&&&&\frac{1}{0}\ \frac{0}{1}&&\frac{1}{2}&&\frac{1}{1}&&\frac{2}{1}&&\frac{1}{0}\ \frac{0}{1}&\frac{1}{3}&\frac{1}{2}&\frac{2}{3}&\frac{1}{1}&\frac{3}{2}&\frac{2}{1}&\frac{3}{1}&\frac{1}{0}\ &&&&\dots\end{array}\] a) Demuestre que cada una de estas fracciones es irreducible. b) En el plano hemos colocado infinitos círculos de diámetro 1, sobre cada entero en la recta real, un círculo. Inductivamente colocamos círculos que cada círculo es tangente a dos círculos adyacentes y la recta real, y hacemos esto para siempre. Demuestre que los puntos de tangencia de estos círculos son exactamente todos los números en la parte a (excepto $ \frac{1}{0}$ ) . c) Demuestre que en estas dos partes aparecen todos los números racionales positivos.

En la siguiente red triangular, la distancia de dos vértices es la longitud del camino más corto entre ellos. Sean $ A_{1},A_{2},\dots,A_{n}$ vértices constantes de la red. Queremos encontrar un vértice en la red cuya suma de distancias desde los vértices sea mínima. Comenzamos desde un vértice arbitrario. En cada paso verificamos los seis vecinos y si la suma de distancias desde los vértices de uno de los vecinos es menor que la suma de distancias desde los vértices en el momento, vamos a ese vecino. Si tenemos más de una opción, elegimos arbitrariamente. a) Demuestre que cuando no podemos hacer ningún movimiento, hemos llegado a la respuesta del problema. b) ¿Este algoritmo llega a la respuesta para cada grafo conexo?

Llamamos a un conjunto $ A$ un buen conjunto si tiene las siguientes propiedades: 1. $ A$ consiste en círculos en el plano. 2. Ningún dos elementos de $ A$ se intersecan. Sean $ A,B$ dos buenos conjuntos. Decimos que $ A,B$ son equivalentes si podemos llegar de $ A$ a $ B$ moviendo círculos en $ A$ , haciéndolos más grandes o más pequeños de tal manera que durante estas operaciones cada círculo no se interseca con otros círculos. Sea $ a_{n}$ el número de subconjuntos buenos no equivalentes con $ n$ elementos. Por ejemplo $ a_{1}= 1,a_{2}= 2,a_{3}= 4,a_{4}= 9$ . Si existen $ a,b$ tales que $ Aa^{n}\leq a_{n}\leq Bb^{n}$ , decimos que la razón de crecimiento de $ a_{n}$ es mayor que $ a$ y es menor que $ b$ . a) Demuestre que la razón de crecimiento de $ a_{n}$ es mayor que 2 y es menor que 4. b) Encuentre mejores límites para la razón de crecimiento superior e inferior de $ a_{n}$ .