Llamamos a la aplicación $ \Delta:\mathbb Z\backslash\{0\}\longrightarrow\mathbb N$ , una aplicación de grado si y solo si para cada $ a,b\in\mathbb Z$ tal que $ b\neq0$ y $ b\not|a$ existen enteros $ r,s$ tales que $ a = br+s$ , y $ \Delta(s) <\Delta(b)$ . a) Demuestre que la siguiente aplicación es una aplicación de grado: \[ \delta(n)=\mbox{Número de dígitos en la representación binaria de }n\] b) Demuestre que existe una aplicación de grado $ \Delta_{0}$ tal que para cada aplicación de grado $ \Delta$ y para cada $ n\neq0$ , $ \Delta_{0}(n)\leq\Delta(n)$ . c) Demuestre que $ \delta =\Delta_{0}$

Considere dos polígonos $ P$ y $ Q$ . Queremos cortar $ P$ en algunos polígonos más pequeños y juntarlos de tal manera que obtengamos $ Q$ . Podemos trasladar las piezas pero no podemos rotarlas ni reflejarlas. Llamamos a $ P,Q$ equivalentes si y solo si podemos obtener $ Q$ de $ P$ (lo cual es obviamente una relación de equivalencia). a) Sean $ P,Q$ dos rectángulos con la misma área (sus lados no son necesariamente paralelos). Demuestre que $ P$ y $ Q$ son equivalentes. b) Demuestre que si dos triángulos no son traslación uno del otro, no son equivalentes. c) Encuentre una condición necesaria y suficiente para que los polígonos $ P,Q$ sean equivalentes.

Algo relacionado con este problema : Demuestre que para un conjunto $ S\subset\mathbb N$ , existe una secuencia $ \{a_{i}\}_{i = 0}^{\infty}$ en $ S$ tal que para cada $ n$ , $ \sum_{i = 0}^{n}a_{i}x^{i}$ es irreducible en $ \mathbb Z[x]$ si y solo si $ |S|\geq2$ .

Una raíz hiper-primitiva es una k-tupla $ (a_{1},a_{2},\dots,a_{k})$ y $ (m_{1},m_{2},\dots,m_{k})$ con la siguiente propiedad: Para cada $ a\in\mathbb N$ , que $ (a,m) = 1$ , tiene una representación única en la siguiente forma: \[ a\equiv a_{1}^{\alpha_{1}}a_{2}^{\alpha_{2}}\dots a_{k}^{\alpha_{k}}\pmod{m}\qquad 1\leq\alpha_{i}\leq m_{i}\] Demuestre que para cada $ m$ tenemos una raíz hiper-primitiva.

Encuentre todas las soluciones enteras de \[ x^{4}+y^{2}=z^{4}\]

Sea $ n$ un número natural, y $ n = 2^{2007}k+1$ , tal que $ k$ es un número impar. Demuestre que \[ n\not|2^{n-1}+1\]

Sean $ m,n$ dos enteros tales que $ \varphi(m) =\varphi(n) = c$ . Demuestre que existen números naturales $ b_{1},b_{2},\dots,b_{c}$ tales que $ \{b_{1},b_{2},\dots,b_{c}\}$ es un sistema reducido de residuos con ambos $ m$ y $ n$ .

Sea $ n$ un número natural, tal que $ (n,2(2^{1386}-1))=1$ . Sea $ \{a_{1},a_{2},\dots,a_{\varphi(n)}\}$ un sistema reducido de residuos para $ n$ . Demuestre que: \[ n|a_{1}^{1386}+a_{2}^{1386}+\dots+a_{\varphi(n)}^{1386}\]

Sea $ ABC$ un triángulo. Los cuadrados $ AB_{c}B_{a}C$ , $ CA_{b}A_{c}B$ y $ BC_{a}C_{b}A$ están fuera del triángulo. El cuadrado $ B_{c}B_{c}'B_{a}'B_{a}$ con centro $ P$ está fuera del cuadrado $ AB_{c}B_{a}C$ . Demuestre que $ BP,C_{a}B_{a}$ y $ A_{c}B_{c}$ son concurrentes.

Sea $ ABC$ un triángulo, y $ D$ un punto donde la circunferencia inscrita toca el lado $ BC$ . $ M$ es el punto medio de $ BC$ , y $ K$ es un punto en $ BC$ tal que $ AK\perp BC$ . Sea $ D'$ un punto en $ BC$ tal que $ \frac{D'M}{D'K}=\frac{DM}{DK}$ . Defina $ \omega_{a}$ como el círculo con diámetro $ DD'$ . Definimos $ \omega_{B},\omega_{C}$ de manera similar. Demuestre que cada dos de estos círculos son tangentes.