Llamamos al conjunto $A\in \mathbb R^n$ CN si y sólo si para cada $f:A\to A$ continua existe algún $x\in A$ tal que $f(x)=x$ . a) Ejemplo: Sabemos que $A = \{ x\in\mathbb R^n | |x|\leq 1 \}$ es CN. b) El círculo no es CN. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es CN? 1) $A=\{x\in\mathbb R^3| |x|=1\}$ 2) La cruz $\{(x,y)\in\mathbb R^2|xy=0,\ |x|+|y|\leq1\}$ 3) Gráfico de la función $f:[0,1]\to \mathbb R$ definida por \[f(x)=\sin\frac 1x\ \mbox{si}\ x\neq0,\ f(0)=0\]

Sean $a,b,c\in \mathbb N$ tales que $a,b\neq c$ . Demuestre que existen infinitos números primos $p$ para los cuales existe $n\in\mathbb N$ tal que $p|a^n+b^n-c^n$ .

$k$ es un entero. Definimos la secuencia $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ de la siguiente manera: \[a_0=0,\ \ \ a_1=1,\ \ \ a_n=2ka_{n-1}-(k^2+1)a_{n-2}\ \ (n \geq 2)\] $p$ es un número primo tal que $p\equiv 3(\mbox{mod}\ 4)$ a) Demuestre que $a_{n+p^2-1}\equiv a_n(\mbox{mod}\ p)$ b) Demuestre que $a_{n+p^3-p}\equiv a_n(\mbox{mod}\ p^2)$

$p(x)$ es un polinomio irreducible en $\mathbb Q[x]$ tal que $\mbox{deg}\ p$ es impar. $q(x),r(x)$ son polinomios con coeficientes racionales tal que $p(x)|q(x)^2+q(x).r(x)+r(x)^2$ . Demuestre que \[p(x)^2|q(x)^2+q(x).r(x)+r(x)^2\]

Sea $a\in\mathbb N$ y $m=a^2+a+1$ . Encuentre el número de $0\leq x\leq m$ tal que: \[x^3\equiv1(\mbox{mod}\ m)\]

Encuentre todos los $n,p,q\in \mathbb N$ tales que: \[2^n+n^2=3^p7^q\]

Suponga que $H$ y $O$ son el ortocentro y el circuncentro del triángulo $ABC$ . $\omega$ es la circunferencia circunscrita de $ABC$ . $AO$ se interseca con $\omega$ en $A_1$ . $A_1H$ se interseca con $\omega$ en $A'$ y $A''$ es el punto de intersección de $\omega$ y $AH$ . Definimos los puntos $B',\ B'',\ C'$ y $C''$ de manera similar. Demuestre que $A'A'',B'B''$ y $C'C''$ son concurrentes en un punto sobre la línea de Euler del triángulo $ABC$ .

Suponga que en el triángulo $ABC$ la circunferencia inscrita toca el lado $BC$ en $P$ y $\angle APB=\alpha$ . Demuestre que : \[\frac1{p-b}-\frac1{p-c}=\frac2{rtg\alpha}\]

Demuestre que en un triángulo acutángulo ABC si $r$ es el inradio y $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita entonces: \[a^2+b^2+c^2\geq 4(R+r)^2\]

Suponga que $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ . Suponga que $\frac{S(OAB)+S(OAC)}2=S(OBC)$ . Demuestre que la distancia de $O$ (circuncentro) al eje radical de la circunferencia circunscrita y la circunferencia de los nueve puntos es \[\frac {a^2}{\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}}\]