Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ . Sea $K$ el punto medio de $AI$ y $BI\cap \odot(\triangle ABC)=M,CI\cap \odot(\triangle ABC)=N$ . Los puntos $P,Q$ están en $AM,AN$ respectivamente tales que $\angle ABK=\angle PBC,\angle ACK=\angle QCB$ . Probar que $P,Q,I$ son colineales.

Sea $ABC$ un triángulo. Considerar un punto arbitrario $P$ en el plano del $\triangle ABC$ . Sean $R,Q$ las reflexiones de $P$ con respecto a $AB,AC$ respectivamente. Sea $RQ\cap BC=T$ . Probar que $\angle APB=\angle APC$ si y solo si $\angle APT=90^{\circ}$ .

Sea $ABC$ un triángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$ . Sea $K$ el punto medio de $AH$ . El punto $P$ está en $AC$ tal que $\angle BKP=90^{\circ}$ . Probar que $OP\parallel BC$ .

Sea $ABCD$ el trapecio tal que $AB\parallel CD$ . Sea $E$ un punto arbitrario en $AC$ . El punto $F$ está en $BD$ tal que $BE\parallel CF$ . Probar que las circunferencias circunscritas de $\triangle ABF,\triangle BED$ y la línea $AC$ son concurrentes.

Una recta $d$ se llama fiel al triángulo $ABC$ si $d$ está en el plano del triángulo $ABC$ y los reflejos de $d$ sobre los lados de $ABC$ son concurrentes. Demuestre que para cualesquiera dos triángulos con ángulos agudos que se encuentran en el mismo plano, o bien existe exactamente una recta fiel a ambos, o existen infinitas rectas fieles a ellos.

Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que el polinomio \[P(x)= \frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+...+x+1 ] no tiene ninguna raíz racional.

En una competencia deportiva, han participado $m$ equipos. Sabemos que cada dos equipos han competido exactamente una vez y el resultado es que un equipo gana y el otro pierde (es decir, no hay resultado igual). Demuestre que existe un equipo $x$ tal que para cada equipo $y,$ o bien $x$ le gana a $y$ o existe un equipo $z$ para el cual $x$ le gana a $z$ y $z$ le gana a $y.$ [es decir, demuestre que en todo torneo existe un rey.]

Si $A=(a_1,\cdots,a_n)$ , $B=(b_1,\cdots,b_n)$ son $2$ $n-$ tuplas tales que $a_i,b_i=0 \ or \ 1$ para $i=1,2,\cdots,n$ , definimos $f(A,B)$ como el número de $1\leq i\leq n$ tales que $a_i\ne b_i$ . Por ejemplo, si $A=(0,1,1)$ , $B=(1,1,0)$ , entonces $f(A,B)=2$ . Ahora, sean $A=(a_1,\cdots,a_n)$ , $B=(b_1,\cdots,b_n)$ , $C=(c_1,\cdots,c_n)$ 3 $n-$ tuplas, tales que para $i=1,2,\cdots,n$ , $a_i,b_i,c_i=0 \ or \ 1$ y $f(A,B)=f(A,C)=f(B,C)=d$ . $a)$ Demuestre que $d$ es par. $b)$ Demuestre que existe una $n-$ tupla $D=(d_1,\cdots,d_n)$ tal que $d_i=0 \ or \ 1$ para $i=1,2,\cdots,n$ , tal que $f(A,D)=f(B,D)=f(C,D)=\frac{d}{2}$ .

Sea $ABC$ un triángulo y $AB<AC<BC$ . Sean $D,E$ puntos en el lado $BC$ y la línea $AB$ , respectivamente ( $A$ está entre $B,E$ ) tales que $BD=BE=AC$ . La circunferencia circunscrita de $\Delta BED$ se encuentra con el lado $AC$ en $P$ y $BP$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $\Delta ABC$ en $Q$ . Demuestre que: \[ AQ+CQ=BP. \]

Sea el entero positivo $n$ que tiene al menos cuatro divisores positivos y $0<d_1<d_2<d_3<d_4$ sus divisores positivos más pequeños. Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que: \[ n=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2. \]