Un triángulo arbitrario se divide en algunos triángulos homotéticos consigo mismo. La razón de homotecia de los triángulos puede ser positiva o negativa. Demuestre que la suma de todas las razones de homotecia es igual a $1$ .

Una permutación $\pi$ de $\{1,\dots,n\}$ se llama estable si el conjunto $\{\pi (k)-k|k=1,\dots,n\}$ consiste exactamente en dos elementos diferentes. Demuestre que el número de permutaciones estables de $\{1,\dots,n\}$ es igual a $\sigma (n)-\tau (n)$ en la que $\sigma (n)$ es la suma de los divisores positivos de $n$ y $\tau (n)$ es el número de divisores positivos de $n$ .

Suponga que $n>2$ y sean $A_1,\dots,A_n$ puntos en el plano tales que no hay tres colineales. \n(a) Suponga que $M_1,\dots,M_n$ son puntos en los segmentos $A_1A_2,A_2A_3,\dots ,A_nA_1$ respectivamente. Demuestre que si $B_1,\dots,B_n$ son puntos en los triángulos $M_2A_2M_1,M_3A_3M_2,\dots ,M_1A_1M_n$ respectivamente entonces\n\[|B_1B_2|+|B_2B_3|+\dots+|B_nB_1| \leq |A_1A_2|+|A_2A_3|+\dots+|A_nA_1|\]\nDonde $|XY|$ significa la longitud del segmento de línea entre $X$ e $Y$ .\n(b) Si $X$ , $Y$ y $Z$ son tres puntos en el plano entonces por $H_{XYZ}$ nos referimos al semiplano que su límite es la bisectriz del ángulo exterior del ángulo $\hat{XYZ}$ y no contiene a $X$ y $Z$ , teniendo a $Y$ tachado. Demuestre que si $C_1,\dots ,C_n$ son puntos en ${H_{A_nA_1A_2},H_{A_1A_2A_3},\dots,H_{A_{n-1}A_nA_1}}$ entonces\n\[|A_1A_2|+|A_2A_3|+\dots +|A_nA_1| \leq |C_1C_2|+|C_2C_3|+\dots+|C_nC_1|\]

Sea $n$ un entero positivo. Se dan $1369^n$ números racionales positivos con esta propiedad: si eliminamos uno de los números, entonces podemos dividir los números restantes en $1368$ conjuntos con igual número de elementos de tal manera que el producto de los números de los conjuntos sea igual. Demuestra que todos los números son iguales.

En el tetraedro $ABCD$ sean $h_a, h_b, h_c$ y $h_d$ las longitudes de las alturas desde cada vértice al lado opuesto de ese vértice. Demuestra que\n\[\frac{1}{h_a} <\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}+\frac{1}{h_d}.\]

Sea $\{a_n \}_{n=1}^{\infty}$ una secuencia tal que $a_1=\frac 12$ y\n\[a_n=\biggl( \frac{2n-3}{2n} \biggr) a_{n-1} \qquad \forall n \geq 2.\]\nDemuestra que para todo entero positivo $n,$ tenemos $\sum_{k=1}^n a_k <1.$

Sea $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ una secuencia de enteros positivos para la cual \[ a_{n+2} = \left[\frac{2a_n}{a_{n+1}}\right]+\left[\frac{2a_{n+1}}{a_n}\right]. \] Demuestre que existe un entero positivo $m$ tal que $a_m=4$ y $a_{m+1} \in\{3,4\}$. Nota. $[x]$ es el entero más grande que no excede a $x$.

Suponga una tabla de $m \times n$. Escribimos un entero en cada celda de la tabla. En cada movimiento, elegimos una columna, una fila o una diagonal (diagonal es el conjunto de celdas donde la diferencia entre su número de fila y su número de columna es constante) y agregamos ya sea $+1$ o $-1$ a todas sus celdas. Demuestre que si para toda tabla arbitraria de $3 \times 3$ podemos cambiar todos los números a cero, entonces podemos cambiar todos los números de la tabla de $m \times n$ a cero. (Pista : Primero piense en cómo podemos cambiar el número de la tabla de $ 3 \times 3$ a cero.)

Sea $P$ un punto fuera del círculo $C$. Sean $PA$ y $PB$ las tangentes al círculo trazadas desde $C$. Elija un punto $K$ en $AB$. Suponga que la circunferencia circunscrita del triángulo $PBK$ interseca a $C$ nuevamente en $T$. Sea ${P}'$ la reflexión de $P$ con respecto a $A$. Demuestre que \[ \angle PBT = \angle {P}'KA \]

Sea $ABC$ un triángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$ . Sea $R$ el radio de la circunferencia circunscrita del $\triangle ABC$ . Sean $A',B',C'$ los puntos en $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BH},\overrightarrow{CH}$ respectivamente tales que $AH.AA'=R^2,BH.BB'=R^2,CH.CC'=R^2$ . Probar que $O$ es el incentro del $\triangle A'B'C'$ .