Tenemos un tablero de ajedrez y llamamos a un cuadrado de $1\times1$ una habitación. Un robot está parado en un vértice arbitrario de las habitaciones. El robot comienza a moverse y en cada movimiento, se mueve un lado de una habitación. Este robot tiene $2$ memorias $A,B$ . Al principio, los valores de $A,B$ son $0$ . En cada movimiento, si sube, se añade $1$ unidad a $A$ , y si baja, se resta $1$ unidad de $A$ , y si va a la derecha, el valor de $A$ se añade a $B$ , y si va a la izquierda, el valor de $A$ se resta de $B$ . Suponga que el robot ha atravesado un recorrido (!) que no se ha intersectado a sí mismo y finalmente, ha regresado a su vértice inicial. Si $v(B)$ es el valor de $B$ al final del recorrido, demuestre que en este recorrido, la superficie interior de la forma en que el robot se ha movido en su circunferencia es igual a $|v(B)|$ .

$\angle{A}$ es el ángulo menor en $\Delta{ABC}$ . El punto $D$ está en el arco $BC$ de la circunferencia circunscrita de $\Delta{ABC}$ . Las bisectrices perpendiculares de los segmentos $AB,AC$ intersecan la línea $AD$ en $M,N$ , respectivamente. El punto $T$ es el punto de encuentro de $BM,CN$ . Suponga que $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita de $\Delta{ABC}$ . Demuestra que: \[ BT+CT\leq{2R}. \]

Sean $x,y,z\in\mathbb{R}$ y $xyz=-1$ . Demuestra que: \[ x^4+y^4+z^4+3(x+y+z)\geq\frac{x^2}{y}+\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{z^2}{y}. \]

Suponga que tenemos algunas proteínas que cada proteína es una secuencia de 7 'AMINO-ÁCIDOS' $A,\ B,\ C,\ H,\ F,\ N$ . Por ejemplo, $AFHNNNHAFFC$ es una proteína. Hay algunos pasos que en cada paso un aminoácido cambiará a otro. Por ejemplo, con el paso $NA\rightarrow N$ la proteína $BANANA$ cambiará a $BANNA$ ( 'en persa significa trabajador'). Tenemos un conjunto de pasos permitidos que cada proteína puede cambiar con estos pasos. Por ejemplo, con el conjunto de pasos: $\ 1)\ AA\longrightarrow A\ 2)\ AB\longrightarrow BA\ 3)\ A\longrightarrow \mbox{nulo}$ La proteína $ABBAABA$ cambiará así: $\ ABB\underline{AA}BA\ \underline{AB}BABA\ B\underline{AB}ABA\ BB\underline{AA}BA\ BB\underline{AB}A\ BBB\underline{AA}\ BBB\underline{A}\ BBB$ Ves que después de pasos finitos esta proteína terminará sus pasos. El conjunto de pasos permitidos para los cuales existe una proteína que puede tener infinitos pasos es peligroso. ¿Cuál de los siguientes conjuntos permitidos es peligroso? a) $NO\longrightarrow OONN$ b) $\left\{\begin{array}{c}HHCC\longrightarrow HCCH\ CC\longrightarrow CH\end{array}\right.$ c) Diseñe un conjunto de pasos permitidos que cambien $\underbrace{AA\dots A}_{n}\longrightarrow\underbrace{BB\dots B}_{2^{n}}$ d) Diseñe un conjunto de pasos permitidos que cambien $\underbrace{A\dots A}_{n}\underbrace{B\dots B}_{m}\longrightarrow\underbrace{CC\dots C}_{mn}$ Ves por $c$ y $d$ que podemos calcular las funciones $F(n)=2^{n}$ y $G(M,N)=mn$ con estos pasos. Encuentre algunas otras funciones calculables con estos pasos. (Tiene alguna marca extra).

Para cada $m\in \mathbb N$ definimos $rad\ (m)=\prod p_i$ , donde $m=\prod p_i^{\alpha_i}$ . Conjetura abc Suponga que $\epsilon >0$ es un número arbitrario, entonces existe $K$ dependiendo de $\epsilon$ que para cada 3 números $a,b,c\in\mathbb Z$ tal que $gcd (a,b)=1$ y $a+b=c$ entonces: \[ max\{|a|,|b|,|c|\}\leq K(rad\ (abc))^{1+\epsilon} \] Ahora demuestre cada una de las siguientes afirmaciones utilizando la conjetura $abc$ : a) Último teorema de Fermat para $n>N$ donde $N$ es algún número natural. b) Llamamos a $n=\prod p_i^{\alpha_i}$ fuerte si y sólo si $\alpha_i\geq 2$ . c) Demuestre que hay finitamente muchos $n$ tales que $n,\ n+1,\ n+2$ son fuertes. d) Demuestre que hay finitamente muchos números racionales $\frac pq$ tales que: \[ \Big| \sqrt[3]{2}-\frac pq \Big|<\frac{2^ {1384}}{q^3} \]

Definimos una relación entre subconjuntos de $\mathbb R ^n$ . $A \sim B\Longleftrightarrow$ podemos particionar $A,B$ en conjuntos $A_1,\dots,A_n$ y $B_1,\dots,B_n$ ( es decir, $\displaystyle A=\bigcup_{i=1} ^n A_i,\ B=\bigcup_{i=1} ^n B_i, \nA_i\cap A_j=\emptyset,\ B_i\cap B_j=\emptyset$ ) y $A_i\simeq B_i$ . Diga si los siguientes conjuntos tienen la relación $\sim$ o no? a) Números naturales y números compuestos. b) Números racionales y números racionales con dígitos finitos en base 10. c) $\{x\in\mathbb Q|x<\sqrt 2\}$ y $\{x\in\mathbb Q|x<\sqrt 3\}$ d) $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2|x^2+y^2<1\}$ y $A\setminus \{(0,0)\}$

Un avión quiere ir desde un punto en el ecuador, y en cada momento irá hacia el noreste con velocidad $v$ . Suponga que el radio de la tierra es $R$ . a) ¿Llegará el avión al polo norte? Si es así, ¿cuánto tardará en llegar al polo norte? b) ¿El avión rotará un número finito de veces alrededor del polo norte? Si es así, ¿cuántas veces?

a) Año 1872 Texas 3 mineros de oro encontraron una pieza de oro. Tienen una moneda que con posibilidad de $\frac 12$ saldrá cada lado, y quieren darle la pieza de oro a uno de ellos dependiendo de cómo salga la moneda. Diseñe un método justo (significa que cada uno de los 3 mineros ganará la pieza de oro con posibilidad de $\frac 13$ ) para los mineros. b) Año 2005, facultad de Matemáticas, Universidad Sharif de Tecnología Suponga que $0<\alpha<1$ y queremos encontrar una forma para las personas llamadas $A$ y $B$ de que la posibilidad de ganar de $A$ sea $\alpha$ . ¿Es posible encontrar esta forma? c) Año 2005 Ahvaz, Estadio Takhti Dos equipos de fútbol tienen un concurso. Y queremos elegir el lado de cada jugador con la moneda, pero no sabemos si nuestra moneda es justa o no. Encuentre una forma de averiguar si la moneda es justa o no. d) Año 2005, verano En la Olimpiada Matemática Nacional en Irán. Cada estudiante tiene una moneda y debe encontrar una forma de que la posibilidad de que la moneda sea COLA sea $\alpha$ o no. Encuentre una forma para el estudiante.

$f(n)$ es el número mínimo tal que existe un $f(n)-$mino que contiene cada $n-$mino. Demuestre que $10000\leq f(1384)\leq960000$ . Encuentre algún límite para $f(n)$

$n$ vectores están en el plano. Podemos mover cada vector hacia adelante y hacia atrás en la línea en la que se encuentra el vector. Si hay 2 vectores cuyos puntos finales coinciden, podemos omitirlos y reemplazarlos con su suma (si su suma es distinta de cero). Suponga que con estas operaciones con 2 métodos diferentes llegamos a un vector. Demuestre que estos vectores están en una línea común