Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia con centro $O$ tal que $BC$ y $AD$ no son paralelas. Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero. Los rayos $AB$ y $DC$ se cortan en $E$ . Una circunferencia con centro $I$ inscrita en el triángulo $EBC$ es tangente al lado $BC$ en $T_1$ . La excircunferencia relativa a $AD$ del triángulo $EAD$ , con centro $J$ , es tangente a $AD$ en $T_2$ . Las rectas $IT_1$ y $JT_2$ se intersecan en $Q$ . Demuestre que $O$ , $P$ y $Q$ son colineales.

Sea $n \geq 3$ un entero impar. Cada celda de un tablero de $n \times n$ se colorea de blanco o de gris. Decimos que una sucesión de casillas $C_1, C_2, \dots, C_m$ es un camino si se satisfacen las siguientes condiciones: $\bullet$ Las casillas $C_1, C_2, \dots, C_m$ son todas del mismo color. $\bullet$ Para todo $i \in \{1, 2, \dots, m - 1\}$ , las casillas $C_i$ y $C_{i+1}$ comparten un lado. $\bullet$ Ningún otro par de casillas de la sucesión comparte un lado. Suponga que las casillas blancas forman un camino y que las casillas grises también forman un camino. Demuestre que uno de estos caminos comienza o termina en el centro del tablero. Por ejemplo, en el tablero de la izquierda, la coloración es válida, pero en los otros dos no lo es. En el tablero del centro, las casillas blancas no forman un camino porque no satisfacen la tercera condición, y en el tablero de la derecha, las casillas grises tampoco forman un camino porque no satisfacen la segunda condición. https://i.postimg.cc/RZ2xCC43/1.png

Un entero positivo $n$ se llama representable si existen enteros positivos $a > b > c$ tales que $n = a + b + c$ y, además, $a$ es múltiplo de $b$ y $b$ es múltiplo de $c$ . Demuestre que el conjunto de los enteros positivos que no son representables es finito y determine el mayor elemento de ese conjunto.

Sean $a$ y $b$ números reales positivos. Determine, en función de $a$ y $b$ , el menor número real $r$ tal que se cumple la siguiente propiedad: es posible cubrir un rectángulo con lados de longitudes $a$ y $b$ usando dos discos circulares de radio $r$ .

Considere un tablero de $8 \times 8$ y muchas fichas de $1 \times 2$ y de $1 \times 3$ . Pablo debe colocar únicamente fichas de $1 \times 2$ en el tablero, sin superposiciones, de modo que resulte imposible colocar una ficha de $1 \times 3$ sobre las casillas descubiertas del tablero. ¿Cuál es el número mínimo de fichas de $1 \times 2$ que Pablo puede colocar?

Carlos y Daniel juegan en un tablero de $25 \times 80$ , que inicialmente tiene todas sus celdas blancas, de la siguiente manera: en su turno, cada jugador elige una región cuadrada formada únicamente por celdas blancas y la pinta de negro. Carlos comienza el juego y luego alternan turnos. Gana el jugador que pinte de negro la última celda blanca del tablero. Determine si existe una estrategia ganadora para uno de los jugadores y, en caso afirmativo, descríbala.

47 Se da una sucesión de números reales $x_1,x_2,\ldots ,x_n$ tal que $x_{i+1}=x_i+\frac{1}{30000}\sqrt{1-x_i^2},\ i=1,2,\ldots ,$ y $x_1=0$ . ¿Puede $n$ ser igual a $50000$ si $x_n<1$ ?

Las diagonales de un cuadrilátero convexo $ABCD$ se intersectan en un punto $O$. Encuentra todos los ángulos de este cuadrilátero si $\measuredangle OBA=30^{\circ}$, $\measuredangle OCB=45^{\circ}$, $\measuredangle ODC=45^{\circ}$, y $\measuredangle OAD=30^{\circ}$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sobre los lados $AC$ y $AB$ se ubican los puntos $M$ y $N$ , respectivamente. Sea $P$ el punto de intersección de los segmentos $BM$ y $CN$ , y sea $Q$ un punto interior al cuadrilátero $ANPM$ tal que $\angle BQC = 90^\circ$ y $\angle BQP = \angle BMQ$ . Si el cuadrilátero $ANPM$ es cíclico, demuestre que $\angle QNC = \angle PQC$ .

Para cada entero positivo $n$ , sea $f(n)$ el menor entero mayor que $n$ para el cual existe un conjunto $\mathcal{M}$ , formado por enteros positivos, que satisface las siguientes condiciones: $\bullet$ El menor elemento de $\mathcal{M}$ es $n$ . $\bullet$ El mayor elemento de $\mathcal{M}$ es $f(n)$ . $\bullet$ El producto de todos los elementos de $\mathcal{M}$ es un cuadrado perfecto. $a)$ Calcule $f(2010)$ . $b)$ Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(n) \leq n + \sqrt{2n}$ .