A6 Denotamos el conjunto de los enteros no nulos y el conjunto de los enteros no negativos con $\mathbb Z^*$ y $\mathbb N_0$, respectivamente. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb Z^* \to \mathbb N_0$ tales que: $a)$ $f(a+b)\geq \min(f(a), f(b))$ para todos $a,b$ en $\mathbb Z^*$ para los cuales $a+b$ está en $\mathbb Z^*$. $b)$ $f(ab)=f(a)+f(b)$ para todos $a,b$ en $\mathbb Z^*$.

1 Se dan en el plano una recta $\ell$ y tres circunferencias con centros $A,B,C$ tales que todas son tangentes a $\ell$ y tangentes exteriormente entre sí dos a dos. Demuestre que el triángulo $ABC$ tiene un ángulo obtuso y halle todos los valores posibles de este ángulo. Mircea Becheanu

2 Halle el número de conjuntos $A$ que contienen $9$ enteros positivos con la siguiente propiedad: para cualquier entero positivo $n\le 500$ , existe un subconjunto $B\subset A$ tal que $\sum_{b\in B}{b}=n$ . Bogdan Enescu & Dan Ismailescu

3 Sea $n\ge 4$ un entero positivo y sea $M$ un conjunto de $n$ puntos en el plano, donde no hay tres puntos colineales y no todos los $n$ puntos son concíclicos. Halle todas las funciones reales $f:M\to\mathbb{R}$ tales que para cualquier círculo $\mathcal{C}$ que contenga al menos tres puntos de $M$ , se cumple la siguiente igualdad: \[\sum_{P\in\mathcal{C}\cap M} f(P)=0\] Dorel Mihet

4 Sea $ABC$ un triángulo, sea $D$ un punto sobre el lado $BC$ , y sea $\mathcal{O}$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Demuestre que los círculos tangentes a $\mathcal{O},AD,BD$ y a $\mathcal{O},AD,DC$ son tangentes entre sí si y solo si $\angle BAD=\angle CAD$ . Dan Branzei

1 Sea $VA_1A_2\ldots A_n$ una pirámide, donde $n\ge 4$ . Un plano $\Pi$ interseca las aristas $VA_1,VA_2,\ldots, VA_n$ en los puntos $B_1,B_2,\ldots,B_n$ respectivamente, tal que los polígonos $A_1A_2\ldots A_n$ y $B_1B_2\ldots B_n$ son semejantes. Demuestre que el plano $\Pi$ es paralelo al plano que contiene la base $A_1A_2\ldots A_n$ . Laurentiu Panaitopol

2 Suponga que $A$ es el conjunto de todos los enteros positivos que se pueden escribir en la forma $a^2+2b^2$ (donde $a,b\in\mathbb {Z}$ y $b$ no es igual a $0$ ) . Demuestre que si $p$ es un número primo y $p^2\in A$ , entonces $p\in A$ . Marcel Tena

3 Sea $p$ un número primo, $p \ge 5$ , y sea $k$ un dígito en la representación $p$ - ádica de los enteros positivos. Halle la longitud máxima de una progresión aritmética no constante cuyos términos no contengan el dígito $k$ en su representación $p$ - ádica.

4 Sean $p,q,r$ números primos distintos y sea \[A=\{p^aq^br^c\mid 0\le a,b,c\le 5\} \] Halle el menor $n\in\mathbb{N}$ tal que para cualquier $B\subset A$ con $|B|=n$ , existen elementos $x$ e $y$ tales que $x$ divide a $y$ . Ioan Tomescu

1 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo, y sean $P= AB \cap CD$ , $Q = CD \cap EF$ , $R = EF \cap AB$ , $S = BC \cap DE$ , $T = DE \cap FA$ , $U = FA \cap BC$ . Demuestre que $\frac{PQ}{CD} = \frac{QR}{EF} = \frac{RP}{AB}$ si y solo si $\frac{ST}{DE} = \frac{TU}{FA} = \frac{US}{BC}$