3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero y sea $l$ una recta. Sea $l$ que interseca a las rectas $AB,CD,BC,DA,AC,BD$ en los puntos $X,X',Y,Y',Z,Z'$ respectivamente. Dado que estos seis puntos sobre $l$ están en el orden $X,Y,Z,X',Y',Z'$ , demuestre que los círculos con diámetro $XX',YY',ZZ'$ son coaxiales.

2 Se sabe que $ \angle BAC$ es el ángulo más pequeño del triángulo $ ABC$ . Los puntos $ B$ y $ C$ dividen a la circunferencia circunscrita del triángulo en dos arcos. Sea $ U$ un punto interior del arco entre $ B$ y $ C$ que no contiene a $ A$ . Las mediatrices de $ AB$ y $ AC$ cortan a la recta $ AU$ en $ V$ y $ W$ , respectivamente. Las rectas $ BV$ y $ CW$ se cortan en $ T$ . Demuestre que $ AU = TB + TC$ . Formulación alternativa: Se eligen cuatro puntos distintos $ A,B,C,D$ sobre una circunferencia $ \Gamma$ tales que el triángulo $ BCD$ no sea rectángulo. Demuestre que: (a) Las mediatrices de $ AB$ y $ AC$ cortan a la recta $ AD$ en ciertos puntos $ W$ y $ V,$ respectivamente, y que las rectas $ CV$ y $ BW$ se cortan en un cierto punto $ T.$ (b) La longitud de uno de los segmentos $ AD, BT,$ y $ CT$ es la suma de las longitudes de los otros dos. Valentin

3 Sean $ x_1$ , $ x_2$ , $ \ldots$ , $ x_n$ números reales que satisfacen las condiciones: \[ \left\{\begin{array}{cccc} |x_1 + x_2 + \cdots + x_n | & = & 1 & \ \\ |x_i| & \leq & \displaystyle \frac {n + 1}{2} & \ \textrm{ for }i = 1, 2, \ldots , n. \end{array} \right. \] Demuestre que existe una permutación $ y_1$ , $ y_2$ , $ \ldots$ , $ y_n$ de $ x_1$ , $ x_2$ , $ \ldots$ , $ x_n$ tal que \[ | y_1 + 2 y_2 + \cdots + n y_n | \leq \frac {n + 1}{2}. \] Valentin

4 Una matriz $ n \times n$ cuyas entradas provienen del conjunto $ S = \{1, 2, \ldots , 2n - 1\}$ se llama matriz plateada si, para cada $ i = 1, 2, \ldots , n$ , la $ i$ -ésima fila y la $ i$ -ésima columna juntas contienen todos los elementos de $ S$ . Demuestre que: (a) no existe una matriz plateada para $ n = 1997$ ; (b) existen matrices plateadas para infinitos valores de $ n$ .

5 Halle todos los pares $ (a,b)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación: $ a^{b^2} = b^a$ .

9 Sea $p$ un primo impar y $S = \{1,2,3,\dots, p\}$ . Suponga que $U: S \rightarrow S$ es una biyección y $B$ es un entero tal que $$B\cdot U(U(a)) - a \: \text{ is a multiple of} \: p \: \text{for all} \: a \in S$$ Demuestre que $B^{\frac{p-1}{2}} -1$ es un múltiplo de $p$ .

2 En un hexágono cíclico convexo $ABCDEF$, se tiene que $BC=EF$ y $CD=AF$. Las diagonales $AC$ y $BF$ se intersectan en el punto $Q$, y las diagonales $EC$ y $DF$ se intersectan en el punto $P$. Los puntos $R$ y $S$ se marcan en los segmentos $DF$ y $BF$ respectivamente, de modo que $FR=PD$ y $BQ=FS$. Los segmentos $RQ$ y $PS$ se intersectan en el punto $T$. Demuestra que la línea $TC$ biseca a la diagonal $DB$.

16 Demuestre que existe un 1990-gono convexo con las siguientes dos propiedades: a.) Todos los ángulos son iguales. b.) Las longitudes de los 1990 lados son los números $ 1^2$ , $ 2^2$ , $ 3^2$ , $ \cdots$ , $ 1990^2$ en algún orden.

9 Sea la sucesión $ a(n), n = 1,2,3, \ldots$ generada como sigue con $ a(1) = 0,$ y para $ n > 1:$ \[ a(n) = a\left( \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right) + (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}.\] 1.) Determine el valor máximo y el valor mínimo de $ a(n)$ para $ n \leq 1996$ y halle todos los $ n \leq 1996$ para los cuales se alcanzan estos valores extremos. 2.) ¿Cuántos términos $ a(n), n \leq 1996,$ son iguales a 0?

B6 Demuestra que existe una cantidad infinita de pares ordenados $(a,b)$ de enteros tales que para todo entero positivo $t$, el número $at+b$ es un número triangular si y solo si $t$ es un número triangular. (Los números triangulares son los $t_n = n(n+1)/2$ con $n$ en $\{0,1,2,\dots\}$.)