En el triángulo $ABC$ , $\omega$ es su circuncírculo y $O$ es el centro de este círculo. Los puntos $M$ y $N$ se encuentran en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente. $\omega$ y el circuncírculo del triángulo $AMN$ se intersectan entre sí por segunda vez en $Q$ . Sea $P$ el punto de intersección de $MN$ y $BC$ . Pruebe que $PQ$ es tangente a $\omega$ si y sólo si $OM=ON$ .

Tenemos $4$ círculos en el plano tales que cualesquiera dos de ellos son tangentes entre sí. Conectamos el punto de tangencia de dos círculos al punto de tangencia de otros dos círculos. Pruebe que estas tres líneas son concurrentes.

$a$ es un entero y $p$ es un número primo y tenemos $p\ge 17$ . Suponga que $S=\{1,2,....,p-1\}$ y $T=\{y|1\le y\le p-1,ord_p(y)<p-1\}$ . Pruebe que hay al menos $4(p-3)(p-1)^{p-4}$ funciones $f:S\longrightarrow S$ que satisfacen $\sum_{x\in T} x^{f(x)}\equiv a$ $(mod$ $p)$ .

Suponga que $k$ es un número natural. Pruebe que existe un número primo en $\mathbb Z_{[i]}$ tal que cualquier otro número primo en $\mathbb Z_{[i]}$ tiene una distancia de al menos $k$ con él.

Suponga que $n$ es un número natural y $n$ no es divisible por $3$ . Pruebe que $(n^{2n}+n^n+n+1)^{2n}+(n^{2n}+n^n+n+1)^n+1$ tiene al menos $2d(n)$ factores primos distintos donde $d(n)$ es el número de divisores positivos de $n$ .

Sea $k$ un número natural tal que $k\ge 7$ . ¿Cuántos $(x,y)$ tales que $0\le x,y<2^k$ satisfacen la ecuación $73^{73^x}\equiv 9^{9^y} \pmod {2^k}$ ?

Sean $n$ y $k$ dos números naturales tales que $k$ es par y para cada primo $p$ si $p|n$ entonces $p-1|k$ . Sea $\{a_1,....,a_{\phi(n)}\}$ todos los números coprimos con $n$ . ¿Cuál es el residuo del número $a_1^k+.....+a_{\phi(n)}^k$ cuando se divide por $n$ ?

Suponga que $S\subseteq \mathbb Z$ tiene la siguiente propiedad: si $a,b\in S$ , entonces $a+b\in S$ . Además, sabemos que $S$ tiene al menos un elemento negativo y un elemento positivo. ¿Es cierta la siguiente afirmación? Existe un entero $d$ tal que para cada $x\in \mathbb Z$ , $x\in S$ si y sólo si $d|x$ .

Cada bacteria tiene un cuerpo horizontal con longitud natural y algún número no negativo de pies verticales, cada uno con longitud natural no negativa (!), que se encuentran debajo de su cuerpo. ¿De cuántas maneras pueden estas bacterias llenar una tabla de $m\times n$ de tal manera que ninguna de ellas se superponga?

Suponga que $n$ es un número natural. Llamamos a la secuencia $(x_1,y_1,z_1,t_1),(x_2,y_2,z_2,t_2),.....,(x_s,y_s,z_s,t_s)$ de $\mathbb Z^4$ buena si satisface estas tres condiciones: i) $x_1=y_1=z_1=t_1=0$ . ii) las secuencias $x_i,y_i,z_i,t_i$ son estrictamente crecientes. iii) $x_s+y_s+z_s+t_s=n$ . (note que $s$ puede variar). Encuentre el número de secuencias buenas.