Sea $P$ un polígono simple completamente en $C$ , un círculo con radio $1$ , tal que $P$ no pasa por el centro de $C$ . El perímetro de $P$ es $36$ . Pruebe que hay un radio de $C$ que interseca a $P$ al menos $6$ veces, o hay un círculo que es concéntrico con $C$ y tiene al menos $6$ puntos en común con $P$ .

Sea $1<t<2$ un número real. Pruebe que para todos los enteros positivos suficientemente grandes como $d$ , existe un polinomio mónico $P(x)$ de grado $d$ , tal que todos sus coeficientes son $+1$ o $-1$ y $$\left|P(t)-2019\right| <1.$$

Se dan números $m$ y $n$ enteros positivos. Hay $mn$ personas en una fiesta, de pie en forma de una cuadrícula de $m\times n$. Algunas de estas personas son oficiales de policía y el resto son invitados. Algunos de los invitados pueden ser criminales. El objetivo es determinar si hay un criminal entre los invitados o no. Se considera que dos personas son \textit{adyacentes} si tienen un lado común. Cualquier oficial de policía puede ver a sus personas adyacentes y, para cada uno de ellos, saber si son criminales o no. Por otro lado, cualquier criminal amenazará exactamente a una de sus personas adyacentes (¡que probablemente sea un oficial!) con asesinar. Un oficial amenazado estará demasiado asustado, por lo que negará la existencia de cualquier criminal entre sus personas adyacentes. Encuentre el menor número posible de oficiales de tal manera que puedan tomar posición en la fiesta, de una manera que el objetivo sea alcanzable. (Tenga en cuenta que el número de criminales es desconocido y es posible que haya cero criminales).

En un triángulo $ABC$ , $\angle A$ es $60^\circ$ . En los lados $AB$ y $AC$ hacemos dos triángulos equiláteros (fuera del triángulo $ABC$ ) $ABK$ y $ACL$ . $CK$ y $AB$ se intersecan en $S$ , $AC$ y $BL$ se intersecan en $R$ , $BL$ y $CK$ se intersecan en $T$ . Pruebe que el centro radical de la circunferencia circunscrita de los triángulos $BSK, CLR$ y $BTC$ está en la mediana del vértice $A$ en el triángulo $ABC$ .

$S$ es un subconjunto de números naturales que tiene infinitos miembros. $$S'=\left\{x^y+y^x: \, x,y\in S, \, x\neq y\right\}$$ Pruebe que el conjunto de divisores primos de $S'$ también tiene infinitos miembros.

Sea $X \neq \varnothing$ un conjunto finito y sea $f: X \to X$ una función tal que para cada $x \in X$ y un primo fijo $p$ tenemos $f^p(x)=x.$ Sea $Y=\{x \in X | f(x) \neq x\}.$ Demostrar que el número de miembros del conjunto $Y$ es divisible por $p.$ Nota. ${f^p(x)=x = \underbrace{f(f(f(\cdots ((f}_{ p \text{ veces}}(x) ) \cdots )))} .$

En el triángulo $ABC,$ tenemos $\angle A \leq 90^\circ$ y $\angle B = 2 \angle C.$ La bisectriz interior del ángulo $C$ se encuentra con la mediana $AM$ en $D.$ Demostrar que $\angle MDC \leq 45^\circ.$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Demostrar que para cualquier entero positivo $t,$ \n\[1+2^t+3^t+\cdots+9^t - 3(1 + 6^t +8^t )\]\nes divisible por $18.$

Un tipo especial de mosaico de paralelogramo está formado por la unión de los catetos de dos triángulos rectángulos isósceles de lado $1$ . Queremos colocar una serie de estos mosaicos en el suelo de una habitación de $n\times n$ de manera que la distancia desde cada vértice de cada mosaico a los lados de la habitación sea un entero y que además no haya dos mosaicos que se superpongan. Pruebe que al menos un área $n$ de la habitación no estará cubierta por los mosaicos.

En el triángulo $ABC$ , $AD$ y $AH$ son la bisectriz del ángulo y la altura del vértice $A$ , respectivamente. La bisectriz perpendicular de $AD$ , interseca a los semicírculos con diámetros $AB$ y $AC$ que se dibujan fuera del triángulo $ABC$ en $X$ e $Y$ , respectivamente. Pruebe que el cuadrilátero $XYDH$ es concíclico.