Sean $l,m$ dos líneas paralelas en el plano. Sea $P$ un punto fijo entre ellas. Sean $E,F$ puntos variables en $l,m$ tales que el ángulo $EPF$ esté fijado a un número como $\alpha$ donde $0<\alpha<\frac{\pi}2$. (Por ángulo $EPF$ nos referimos al ángulo dirigido) Demuestre que hay otro punto (no $P$) tal que ve el segmento $EF$ con un ángulo fijo también.

Sea $n$ un número natural fijo. a) Encuentre todas las soluciones a la siguiente ecuación: \[ \sum_{k=1}^n [\frac x{2^k}]=x-1 \] b) Encuentre el número de soluciones a la siguiente ecuación ( $m$ es un natural fijo): \[ \sum_{k=1}^n [\frac x{2^k}]=x-m \]

Tenemos $n$ puntos en el plano, no tres en una línea. Llamamos $k$ de ellos buenos si forman un polígono convexo y no hay otro punto en el polígono convexo. Suponga que para un $k$ fijo el número de $k$ puntos buenos es $c_k$. Demuestre que la siguiente suma es independiente de la estructura de los puntos y solo depende de $n$: \[ \sum_{i=3}^n (-1)^i c_i \]

$x,y$ y $z$ son números reales tales que $x+y+z=xy+yz+zx$ . Pruebe que $$\frac{x}{\sqrt{x^4+x^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^4+y^2+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^4+z^2+1}}\geq \frac{-1}{\sqrt{3}}.$$

Se elige un subgráfico de un gráfico completo con $n$ vértices de tal manera que el número de sus aristas sea un múltiplo de $3$ y el grado de cada vértice sea un número par. Pruebe que podemos asignar un peso a cada triángulo del gráfico de tal manera que para cada arista del subgráfico elegido, la suma del peso de los triángulos que contienen esa arista sea igual a uno, y para cada arista que no está en el subgráfico, esta suma sea igual a cero.

Dado un triángulo acutángulo $ABC$ con ortocentro $H$ . La reflexión del círculo de los nueve puntos sobre $AH$ interseca a la circunferencia circunscrita en los puntos $X$ e $Y$ . Pruebe que $AH$ es la bisectriz externa de $\angle XHY$ .

En el triángulo $ABC$ , $M,N$ y $P$ son los puntos medios de los lados $BC,CA$ y $AB$ . El punto $K$ se encuentra en el segmento $NP$ de modo que $AK$ biseca $\angle BKC$ . Las líneas $MN,BK$ se intersecan en $E$ y las líneas $MP,CK$ se intersecan en $F$ . Suponga que $H$ es el pie de la línea perpendicular de $A$ a $BC$ y $L$ la segunda intersección de la circunferencia circunscrita de los triángulos $AKH, HEF$ . Pruebe que $MK,EF$ y $HL$ son concurrentes.

Hesam eligió $10$ enteros positivos distintos y le dio todos los $\gcd$ 's y $\text{lcm}$ 's por pares (un total de $90$ números) a Masoud. ¿Puede Masoud siempre encontrar los primeros $10$ números, solo conociendo estos $90$ números?

Encuentre todos los polinomios $P(x,y)$ con coeficientes reales tales que para todos los números reales $x,y$ y $z$ : $$P(x,2yz)+P(y,2zx)+P(z,2xy)=P(x+y+z,xy+yz+zx).$$

Para cualquier entero positivo $n$ , defina el subconjunto $S_n$ de números naturales como sigue $$ S_n = \left\{x^2+ny^2 : x,y \in \mathbb{Z} \right\}.$$ Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que exista un elemento de $S_n$ que no pertenezca a ninguno de los conjuntos $S_1, S_2,\dots,S_{n-1}$ .