Los puntos $K, L, M, N$ se encuentran en los lados $AB, BC, CD, DA$ de un cuadrado $ABCD$, respectivamente, de tal manera que el área de $KLMN$ es igual a la mitad del área de $ABCD$. Demostrar que alguna diagonal de $KLMN$ es paralela a algún lado de $ABCD$.

Con la unión de las cuatro figuras dibujadas en la siguiente figura, construir una figura con al menos dos simetrías de reflexión.\n\n

Tenemos un triángulo $ ABC $ y hacemos rectángulos $ ABA_1B_2 $ , $ BCB_1C_2 $ y $ CAC_1A_2 $ fuera de él. Luego pasa una línea por $ A_2 $ perpendicular a $ C_1A_2 $ y pasa otra línea por $ A_1 $ perpendicular a $ A_1B_2 $ . Sea $ A' $ el punto común de estas dos líneas. De esta manera hacemos $ B' $ y $ C' $ . Prueba que $ AA' $ , $ BB' $ y $ CC' $ se intersectan entre sí en un mismo punto.

Same as P2 avanzados\nlet $ ABC $ an equilateral triangle with circum circle $ w $ let $ P $ a point on arc $ BC $ ( point $ A $ is on the other side ) pass a tangent line $ d $ through point $ P $ such that $ P \cap AB = F $ and $ AC \cap d = L $ let $ O $ the center of the circle $ w $ prove that $ \angle LOF > 90^{0} $

Sea $n \ge 50 $ un número natural. Demuestra que $n$ es expresable como la suma de dos números naturales $n=x+y$, de modo que para cada número primo $p$ tal que $ p\mid x$ o $p\mid y $ tenemos $ \sqrt{n} \ge p $. Por ejemplo, para $n=94$ tenemos $x=80, y=14$.

Un círculo se divide en $2n$ partes iguales por $2n$ puntos. Ali dibuja $n+1$ arcos, de longitud $1,2,\ldots,n+1$. Demuestra que podemos encontrar dos arcos, tales que uno de ellos está dentro del otro.

En el cuadrilátero $ABCD$, $AC$ es bisectriz de $\hat{A}$ y $\widehat{ADC}=\widehat{ACB}$. $X$ e $Y$ son los pies de la perpendicular desde $A$ a $BC$ y $CD$, respectivamente. Demuestra que el ortocentro del triángulo $AXY$ está en $BD$.

Suponga que tenemos un polígono simple (es decir, no se interseca a sí mismo, pero no necesariamente convexo). Demuestre que este polígono tiene un diámetro que está completamente dentro del polígono y los dos arcos que crea en el perímetro del polígono (los dos arcos tienen 2 vértices en común) ambos tienen al menos un tercio de los vértices del polígono.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Suponga que $D,E,F$ son los pies de las líneas perpendiculares desde $A,B,C$ a $BC,CA,AB$. Sean $P,Q,R$ los pies de las líneas perpendiculares desde $A,B,C$ a $EF,FD,DE$. Pruebe que \[ 2(PQ+QR+RP)\geq DE+EF+FD \]

Sea $n$ un número natural fijo. Encuentre todas las $n$ tuplas de números naturales, pares distintos y coprimos como $a_1,a_2,\ldots,a_n$ tales que para $1\leq i\leq n$ tenemos \[ a_1+a_2+\ldots+a_n|a_1^i+a_2^i+\ldots+a_n^i \]