Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Sea $D$ el punto de intersección de la recta $AI$ con la recta $BC$. Sea $E$ el punto en el lado $AC$ tal que $IE \perp AI$. Sea $F$ el punto en el lado $AB$ tal que $IF \perp AI$. Suponga que la recta $EF$ corta a la recta $BC$ en el punto $P$. Suponga que el círculo circunscrito del triángulo $IEF$ corta a la recta $BC$ en los puntos $D$ y $Q$. Demuestre que $I$ es el punto medio del segmento $PQ$.