Pruebe que para $n, p$ enteros, $n \geq 4$ y $p \geq 4$ , la proposición $\mathcal{P}(n, p)$ \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{{x_{i}}^{p}}\geq \sum_{i=1}^{n}{x_{i}}^{p}\quad \textrm{para}\quad x_{i}\in \mathbb{R}, \quad x_{i}> 0 , \quad i=1,\ldots,n \ ,\quad \sum_{i=1}^{n}x_{i}= n,\] es falsa.

Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de todas las funciones $f : \mathcal{P}(S) \longrightarrow \mathbb{R}$ tales que para todo $X, Y \subseteq S$ , tenemos $f(X \cap Y) = \min (f(X), f(Y))$ , donde $S$ es un conjunto finito (y $\mathcal{P}(S)$ es el conjunto de sus subconjuntos). Encuentre \[\max_{f \in \mathcal{F}}| \textrm{Im}(f) |. \]

Sea $S$ el conjunto de $n$ - uplas $\left( x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ tal que $x_{i}\in \{ 0, 1 \}$ para todo $i \in \overline{1,n}$ , donde $n \geq 3$ . Sea $M(n)$ el entero más pequeño con la propiedad de que cualquier subconjunto de $S$ con al menos $M(n)$ elementos contiene al menos tres $n$ - uplas \[\left( x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \, \left( y_{1}, \ldots, y_{n}\right), \, \left( z_{1}, \ldots, z_{n}\right) \] tales que \[\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right)^{2}= \sum_{i=1}^{n}\left( y_{i}-z_{i}\right)^{2}= \sum_{i=1}^{n}\left( z_{i}-x_{i}\right)^{2}. \] (a) Pruebe que $M(n) \leq \left\lfloor \frac{2^{n+1}}{n}\right\rfloor+1$ . (b) Calcule $M(3)$ y $M(4)$ .

Encuentre todos los subconjuntos $A$ de $\left\{ 1, 2, 3, 4, \ldots \right\}$ , con $|A| \geq 2$ , tales que para todo $x,y \in A, \, x \neq y$ , tenemos que $\frac{x+y}{\gcd (x,y)}\in A$ .

Sea $ABC$ un triángulo, $E$ y $F$ los puntos donde el incírculo y el $A$ - excírculo tocan $AB$ , y $D$ el punto en $BC$ tal que los triángulos $ABD$ y $ACD$ tienen inradios iguales. Las líneas $DB$ y $DE$ intersectan el circuncírculo del triángulo $ADF$ de nuevo en los puntos $X$ y $Y$ . Pruebe que $XY\parallel AB$ si y solo si $AB=AC$ .

Sea \[f = X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_{1}X+a_{0}\] un polinomio entero de grado $n \geq 3$ tal que $a_{k}+a_{n-k}$ es par para todo $k \in \overline{1,n-1}$ y $a_{0}$ es par. Suponga que $f = gh$ , donde $g,h$ son polinomios enteros y $\deg g \leq \deg h$ y todos los coeficientes de $h$ son impares. Pruebe que $f$ tiene una raíz entera.

Sea $n$ un número entero positivo. Si $S$ es un conjunto finito de vectores en el plano, sea $N(S)$ el número de subconjuntos de dos elementos $\{\mathbf{v}, \mathbf{v'}\}$ de $S$ tales que \[4\,(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v'}) + (|\mathbf{v}|^2 - 1)(|\mathbf{v'}|^2 - 1) < 0. \] Determine el máximo de $N(S)$ cuando $S$ recorre todos los conjuntos de $n$ - elementos de vectores en el plano.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno, sea $I$ su incentro, y sean $A_1$, $B_1$ y $C_1$ los puntos de contacto de los excírculos con los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AIA_1$, $BIB_1$ y $CIC_1$ tienen un punto común diferente de $I$.

Un polinomio no constante $f$ con coeficientes integrales tiene la propiedad de que, para cada primo $p$, existe un primo $q$ y un entero positivo $m$ tal que $f(p) = q^m$. Demuestre que $f = X^n$ para algún entero positivo $n$.

Las celdas de una matriz cuadrada de $2011 \times 2011$ están etiquetadas con los enteros $1,2,\ldots, 2011^2$ , de tal manera que cada etiqueta se usa exactamente una vez. Luego identificamos los bordes izquierdo y derecho, y luego la parte superior e inferior, de la manera normal para formar un toro (la superficie de una dona). Determine el entero positivo más grande $M$ tal que, sin importar qué etiquetado elijamos, existen dos celdas vecinas con la diferencia de sus etiquetas al menos $M$ . (Las celdas con coordenadas $(x,y)$ y $(x',y')$ se consideran vecinas si $x=x'$ y $y-y'\equiv\pm1\pmod{2011}$ , o si $y=y'$ y $x-x'\equiv\pm1\pmod{2011}$ . )