Sea $ ABCDA'B'C'D'$ un cubo. En los lados $ (A'D')$ , $ (A'B')$ y $ (A'A)$ consideramos los puntos $ M_1$ , $ N_1$ y $ P_1$ respectivamente. En los lados $ (CB)$ , $ (CD)$ y $ (CC')$ consideramos los puntos $ M_2$ , $ N_2$ y $ P_2$ respectivamente. Sea $ d_1$ la distancia entre las líneas $ M_1N_1$ y $ M_2N_2$ , $ d_2$ la distancia entre las líneas $ N_1P_1$ y $ N_2P_2$ , y $ d_3$ la distancia entre las líneas $ P_1M_1$ y $ P_2M_2$. Supongamos que las distancias $ d_1$ , $ d_2$ y $ d_3$ son distintas dos a dos. Demostrar que las líneas $ M_1M_2$ , $ N_1N_2$ y $ P_1P_2$ son concurrentes.

Sean $ a,b \in [0,1]$. Demostrar que \[ \frac 1{1+a+b} \leq 1 - \frac {a+b}2 + \frac {ab}3.\]

a) Llamamos secuencia admisible a una secuencia de 4 dígitos pares en la que ningún dígito aparece más de dos veces. Hallar el número de secuencias admisibles.\nb) Para cada entero $ n\geq 2$ denotamos $ d_n$ el número de posibilidades de completar con dígitos pares un array con $ n$ filas y 4 columnas, tal que (1) cualquier fila es una secuencia admisible; (2) la secuencia 2, 0, 0, 8 aparece exactamente una vez en el array. Hallar los valores de $ n$ para los cuales el número $ \frac {d_{n+1}}{d_n}$ es un entero.

Un tetraedro tiene las longitudes de los lados enteros positivos, tales que el producto de dos lados opuestos cualesquiera es igual a 6. Demostrar que el tetraedro es una pirámide triangular regular en la que los lados laterales forman un ángulo de al menos 30 grados con el plano de la base.

Sea $ ABCD$ un rectángulo con centro $ O$, $ AB\neq BC$. La perpendicular desde $ O$ a $ BD$ corta las líneas $ AB$ y $ BC$ en $ E$ y $ F$ respectivamente. Sean $ M,N$ los puntos medios de los segmentos $ CD,AD$ respectivamente. Demostrar que $ FM \perp EN$.

Sean $ p,q,r$ 3 números primos tales que $ 5\leq p <q<r$. Sabiendo que $ 2p^2-r^2 \geq 49$ y $ 2q^2-r^2\leq 193$, hallar $ p,q,r$.

Un rectángulo puede ser dividido por líneas paralelas a sus lados en 200 cuadrados congruentes, y también en 288 cuadrados congruentes. Demostrar que el rectángulo también puede ser dividido en 392 cuadrados congruentes.

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo con $ \angle B > \angle C$. Sea $ D$ el pie de la altura desde $ A$ sobre $ BC$, y sea $ E$ el pie de la perpendicular desde $ D$ sobre $ AC$. Sea $ F$ un punto en el segmento $ (DE)$. Demostrar que las líneas $ AF$ y $ BF$ son perpendiculares si y sólo si $ EF\cdot DC = BD \cdot DE$.

Considere un poliedro convexo $P$ con vértices $V_1,\ldots ,V_p$ . Los vértices distintos $V_i$ y $V_j$ se llaman vecinos si pertenecen a la misma cara del poliedro. A cada vértice $V_k$ le asignamos un número $v_k(0)$ , y construimos inductivamente la secuencia $v_k(n)\ (n\ge 0)$ como sigue: $v_k(n+1)$ es el promedio de los $v_j(n)$ para todos los vecinos $V_j$ de $V_k$ . Si todos los números $v_k(n)$ son enteros, demuestre que existe el entero positivo $N$ tal que todos los $v_k(n)$ son iguales para $n\ge N$ .

Las tangentes en $A$ y $B$ a la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ intersecan a la tangente en $C$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente. La línea $AE$ interseca a $BC$ en $P$ y la línea $BD$ interseca a $AC$ en $R$ . Sean $Q$ y $S$ los puntos medios de los segmentos $AP$ y $BR$ respectivamente. Demuestre que $\angle ABQ=\angle BAS$ .