Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico y sean sus diagonales $AC$ y $BD$ se cruzan en $X$ . Sea $I$ el incentro de $XBC$ , y sea $J$ el centro del círculo tangente al lado $BC$ y las extensiones de los lados $AB$ y $DC$ más allá de $B$ y $C$ . Demuestre que la línea $IJ$ biseca el arco $BC$ del círculo $ABCD$ , que no contiene los vértices $A$ y $D$ del cuadrilátero.

Sea $D$ un subconjunto no vacío de enteros positivos y sea $d$ el máximo común divisor de $D$ , y sea $d\mathbb{Z}=[dn: n \in \mathbb{Z} ]$ . Demuestre que existe una biyección $f: \mathbb{Z} \rightarrow d\mathbb{Z} $ tal que $| f(n+1)-f(n)|$ es miembro de $D$ para cada entero $n$ .

Considere una configuración de 4 puntos en el plano tal que cada 3 puntos pueden ser cubiertos por una franja de ancho unitario. Demuestre que: 1) los cuatro puntos pueden ser cubiertos por una franja de longitud como máximo $\sqrt2$ y 2) si ninguna franja de longitud menor que $\sqrt2$ cubre todos los cuatro puntos, entonces los puntos son vértices de un cuadrado de longitud $\sqrt2$

Muestre que un número $n(n+1)$ donde $n$ es un entero positivo es la suma de 2 números $k(k+1)$ y $m(m+1)$ donde $m$ y $k$ son enteros positivos si y sólo si el número $2n^2+2n+1$ es compuesto.

Sea $ABC$ un triángulo, y sea $M$ un punto en el lado $(AC)$ .La línea que pasa por $M$ y es paralela a $BC$ cruza $AB$ en $N$ . Los segmentos $BM$ y $CN$ se cruzan en $P$ , y los círculos $BNP$ y $CMP$ se cruzan de nuevo en $Q$ . Muestre que los ángulos $BAP$ y $CAQ$ son iguales.

Demuestre que existe (al menos) una reorganización $a_0, a_1, a_2,..., a_{63}$ de los números $0,1, 2,..., 63$ , tal que $a_i - a_j \ne a_j - a_k$ , para cualquier $i < j < k \in \{0,1, 2,..., 63\}$ .

Sea $ABC$ un triángulo y $A_1$ el pie de la bisectriz interna del ángulo $BAC$ . Considere $d_A$ la línea perpendicular desde $A_1$ en $BC$ . Defina análogamente las líneas $d_B$ y $d_C$ . Demuestre que las líneas $d_A, d_B$ y $d_C$ son concurrentes si y sólo si el triángulo $ABC$ es isósceles.

Un entero positivo se llama saturado si cualquier factor primo ocurre a una potencia mayor o igual a $2$ en su factorización. Por ejemplo, los números $8 = 2^3$ y $9 = 3^2$ son saturados, además, son consecutivos. Demuestre que existen infinitos números consecutivos saturados.

Demuestre que en cualquier triángulo $ABC$ con $A = 90^0$ se cumple la siguiente desigualdad: $$(AB -AC)^2(BC^2 + 4AB \cdot AC)^2 \le 2BC^6$$

Considere $K$ un polígono en el plano, tal que la distancia entre dos vértices cualesquiera no sea mayor que $1$ . Sean $X$ e $Y$ dos puntos dentro de $K$ . Demuestre que existe un punto $Z$ , que se encuentra en la frontera de K, tal que $XZ + Y Z \le 1$