Sea $ABC$ un triángulo con un ángulo recto en $C$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$ a $AB$. El incírculo $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. Sean $E$ y $F$ las reflexiones de $C$ en las líneas $C_1A_1$ y $C_1B_1$, respectivamente. Sean $K$ y $L$ las reflexiones de $D$ en las líneas $C_1A_1$ y $C_1B_1$, respectivamente. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $A_1EI$, $B_1FI$ y $C_1KL$ tienen un punto en común.

Sea $n > 1$ un entero dado. Un cubo de $n \times n \times n$ está compuesto por $n^3$ cubos unitarios. Cada cubo unitario está pintado con un color. Para cada caja de $n \times n \times 1$ que consta de $n^2$ cubos unitarios (en cualquiera de las tres orientaciones posibles), consideramos el conjunto de colores presentes en esa caja (cada color se enumera sólo una vez). De esta manera, obtenemos $3n$ conjuntos de colores, divididos en tres grupos según la orientación. Sucede que para cada conjunto en cualquier grupo, el mismo conjunto aparece en ambos de los otros grupos. Determine, en términos de $n$ , el número máximo posible de colores que están presentes.

Determine todos los enteros $ n\geq 2$ que tienen la siguiente propiedad: para cualquier entero $a_1,a_2,\ldots, a_n$ cuya suma no es divisible por $n$ , existe un índice $1 \leq i \leq n$ tal que ninguno de los números $$a_i,a_i+a_{i+1},\ldots,a_i+a_{i+1}+\ldots+a_{i+n-1}$$ es divisible por $n$ . Aquí, dejamos que $a_i=a_{i-n}$ cuando $i >n$ .

En el triángulo $ABC$ , sea $\omega$ el excírculo opuesto a $A$ . Sean $D, E$ y $F$ los puntos donde $\omega$ es tangente a $BC, CA$ , y $AB$ , respectivamente. El círculo $AEF$ interseca la línea $BC$ en $P$ y $Q$ . Sea $M$ el punto medio de $AD$ . Demuestre que el círculo $MPQ$ es tangente a $\omega$ .

Dado un entero $n \geq 2$ determine la parte entera del número $ \sum_{k=1}^{n-1} \frac {1} {({1+\frac{1} {n}}) \dots ({1+\frac {k} {n})}}$ - $\sum_{k=1}^{n-1} (1-\frac {1} {n}) \dots(1-\frac{k}{n})$

Sea $n$ un entero positivo. Defina un camaleón como cualquier secuencia de $3n$ letras, con exactamente $n$ ocurrencias de cada una de las letras $a, b,$ y $c$ . Defina un intercambio como la transposición de dos letras adyacentes en un camaleón. Demuestre que para cualquier camaleón $X$ , existe un camaleón $Y$ tal que $X$ no se puede cambiar a $Y$ usando menos de $3n^2/2$ intercambios.

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ . La línea $OA$ interseca las alturas de $ABC$ a través de $B$ y $C$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Las alturas se encuentran en $H$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $PQH$ se encuentra en una mediana del triángulo $ABC$ .

Dados dos enteros positivos $m$ y $n$ , demuestre que existe un entero positivo $k$ y un conjunto $S$ de al menos $m$ múltiplos de $n$ tales que los números $\frac {2^k{\sigma({s})}} {s}$ son impares para cada $s \in S$ . $\sigma({s})$ es la suma de todos los enteros positivos de $s$ (1 y $s$ incluidos).

Para cada entero $n \ge 2$ sea $B_n$ denota el conjunto de todas las $n$ - tuplas binarias de ceros y unos, y divida $B_n$ en clases de equivalencia dejando que dos $n$ - tuplas sean equivalentes si una se obtiene de la otra por una permutación cíclica.(por ejemplo 110, 011 y 101 son equivalentes). Determine los enteros $n \ge 2$ para los cuales $B_n$ se divide en un número impar de clases de equivalencia.

Dado un entero libre de cuadrados $n>2$ , evalúe la suma $\sum_{k=1}^{(n-2)(n-1)} \lfloor ({kn})^{1/3} \rfloor$ .