Para un entero positivo $a$, define una secuencia de enteros $x_1,x_2,\ldots$ definiendo $x_1=a$ y $x_{n+1}=2x_n+1$ para $n\geq 1$. Sea $y_n=2^{x_n}-1$. Determine el mayor $k$ posible tal que, para algún entero positivo $a$, los números $y_1,\ldots,y_k$ son todos primos.