2 $A, B, C$ son colineales con $B$ entre $A$ y $C$ . $K_{1}$ es la circunferencia de diámetro $AB$ , y $K_{2}$ es la circunferencia de diámetro $BC$ . Otra circunferencia es tangente a $AC$ en $B$ y corta de nuevo a $K_{1}$ en $P$ y a $K_{2}$ de nuevo en $Q$ . La recta $PQ$ corta de nuevo a $K_{1}$ en $R$ y a $K_{2}$ de nuevo en $S$ . Demuestre que las rectas $AR$ y $CS$ se cortan sobre la perpendicular a $AC$ en $B$ .

3 En una fiesta hay $n$ mujeres y $n$ hombres. Cada mujer gusta de $r$ de los hombres, y cada hombre gusta de $s$ de las mujeres. ¿Para qué $r$ y $s$ debe haber un hombre y una mujer que se gusten mutuamente?

4 El cuadrilátero $ABCD$ tiene $AB$ paralelo a $CD$ . $P$ está sobre el lado $AB$ y $Q$ sobre el lado $CD$ tales que $\frac{AP}{PB}= \frac{DQ}{CQ}$ . M es la intersección de $AQ$ y $DP$ , y $N$ es la intersección de $PC$ y $QB$ . Halle $MN$ en términos de $AB$ y $CD$ .

5 Algunas cartas tienen escritos en ellas un par de números. Hay exactamente una carta para cada par $(a,b)$ con $1 \leq a < b \leq 2003$ . Dos jugadores juegan el siguiente juego. Cada uno retira una carta por turno y escribe en el pizarrón el producto $ab$ de sus números. El primer jugador que haga que el máximo común divisor de los números del pizarrón sea $1$ pierde. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora?

6 Dado un entero positivo $n$ , un movimiento permitido consiste en formar $2n+1$ o $3n+2$ . El conjunto $S_{n}$ es el conjunto de todos los números que pueden obtenerse mediante una sucesión de movimientos permitidos a partir de $n$ . Por ejemplo, podemos formar $5 \rightarrow 11 \rightarrow 35$ , así que $5, 11$ y $35$ pertenecen a $S_{5}$ . Decimos que $m$ y $n$ son compatibles si $S_{m}$ y $S_{n}$ tienen un elemento en común. ¿Qué miembros de $\{1, 2, 3, ... , 2002\}$ son compatibles con $2003$ ?

1 Los números $1$ a $1024$ se escriben uno por casilla en un tablero de $32 \times 32$ , de modo que la primera fila sea $1, 2, ... , 32$ , la segunda fila $33, 34, ... , 64$ y así sucesivamente. Luego el tablero se divide en cuatro tableros de $16 \times 16$ y la posición de estos tableros se rota en el sentido de las manecillas del reloj, de modo que $AB$ pasa a $DA$ $DC \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \, CB$ ; después cada uno de los tableros de $16 \times 16 $ se divide en cuatro partes iguales de $8 \times 8$ y cada una de estas se rota de la misma manera (dentro del tablero de $ 16 \times 16$ ). Luego cada uno de los tableros de $8 \times 8$ se divide en cuatro partes de $4 \times 4$ y estas se rotan; después cada tablero de $4 \times 4$ se divide en partes de $2 \times 2$ que se rotan, y finalmente las casillas de cada parte de $2 \times 2$ se rotan. ¿Qué números quedan en la diagonal principal (de la esquina superior izquierda a la inferior derecha)?

2 $ABCD$ es un paralelogramo. $K$ es la circunferencia circunscrita de $ABD$ . Las rectas $BC$ y $CD$ cortan de nuevo a $K$ en $E$ y $F$ . Demuestre que el circuncentro de $CEF$ está sobre $K$ .

3 Sea $n$ un entero positivo. ¿Tiene $n^2$ más divisores positivos de la forma $4k+1$ o de la forma $4k-1$ ?

4 Una ficha de dominó tiene dos números (que pueden ser iguales) entre $0$ y $6$ , uno en cada extremo. La ficha puede darse la vuelta. Hay una ficha de cada tipo, así que $28$ en total. Queremos formar una cadena de la manera usual, de modo que las fichas adyacentes tengan el mismo número en los extremos adyacentes. Las fichas pueden añadirse a la cadena por cualquiera de los dos extremos. Queremos formar la cadena de modo que después de añadir cada ficha el total de todos los números sea impar. Por ejemplo, podríamos colocar primero la ficha $(3,4)$ , con total $3 + 4 = 7$ . Luego $(1,3)$ , con total $1 + 3 + 3 + 4 = 11$ , y luego $(4,4)$ , con total $11 + 4 + 4 = 19$ . ¿Cuál es el mayor número de fichas que pueden colocarse de esta manera? ¿Cuántas cadenas de longitud máxima hay?

5 Un trío es un conjunto de tres enteros distintos tal que dos de los números son divisores o múltiplos del tercero. ¿Qué trío contenido en $\{1, 2, ... , 2002\}$ tiene la mayor suma posible? Halle todos los tríos con la suma máxima.