4 Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n > 1$ con coeficientes enteros y sea $k$ un entero positivo. Considera el polinomio $Q(x) = P(P(\ldots P(P(x)) \ldots ))$ , donde $P$ aparece $k$ veces. Demuestra que hay a lo más $n$ enteros $t$ tales que $Q(t) = t$ . Valentin

5 Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuación \[\frac {x^{7} - 1}{x - 1} = y^{5} - 1.\] e.lopes

6 Sean \( a > b > 1 \) enteros positivos primos relativos. Define el peso de un entero \( c \), denotado por \( w(c) \), como el valor mínimo posible de \( |x| + |y| \) sobre todos los pares de enteros \( x \) y \( y \) tales que \[ax + by = c.\] Un entero \( c \) se llama campeón local si \( w(c) \geq w(c \pm a) \) y \( w(c) \geq w(c \pm b) \). Encuentra todos los campeones locales y determina su número. Propuesto por Zoran Sunic, EE. UU.

7 Para todo entero positivo $n$, demuestra que existe un entero positivo $m$ tal que $n$ divide a $2^{m} + m$. Propuesto por Juhan Aru, Estonia

1 El triángulo $BCF$ tiene un ángulo recto en $B$. Sea $A$ el punto sobre la recta $CF$ tal que $FA=FB$ y $F$ queda entre $A$ y $C$. Se elige el punto $D$ de modo que $DA=DC$ y $AC$ es la bisectriz de $\angle{DAB}$. Se elige el punto $E$ de modo que $EA=ED$ y $AD$ es la bisectriz de $\angle{EAC}$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo. Demuestra que $BD$, $FX$ y $ME$ son concurrentes.

2 Encuentra todos los enteros $n$ para los cuales cada celda de una tabla de $n \times n$ puede llenarse con una de las letras $I,M$ y $O$ de tal manera que: en cada fila y cada columna, un tercio de las entradas sean $I$, un tercio sean $M$ y un tercio sean $O$; y en cualquier diagonal, si el número de entradas en la diagonal es múltiplo de tres, entonces un tercio de las entradas sean $I$, un tercio sean $M$ y un tercio sean $O$. Nota. Las filas y columnas de una tabla de $n \times n$ están etiquetadas de $1$ a $n$ en orden natural. Así, cada celda corresponde a un par de enteros positivos $(i,j)$ con $1 \le i,j \le n$. Para $n>1$, la tabla tiene $4n-2$ diagonales de dos tipos. Una diagonal del primer tipo consiste en todas las celdas $(i,j)$ para las cuales $i+j$ es constante, y la diagonal del segundo tipo consiste en todas las celdas $(i,j)$ para las cuales $i-j$ es constante.

3 Sea $P=A_1A_2\cdots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1, A_2, \ldots, A_k$ tienen coordenadas enteras y están sobre una circunferencia. Sea $S$ el área de $P$. Se da un entero positivo impar $n$ tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de $P$ son enteros divisibles por $n$. Demuestra que $2S$ es un entero divisible por $n$.

71 A todo número natural $k, k \geq 2$ le corresponde una sucesión $a_n(k)$ de acuerdo con la siguiente regla: \[a_0 = k, \qquad a_n = \tau(a_{n-1}) \quad \forall n \geq 1,\] en la que $\tau(a)$ es el número de divisores distintos de $a$ . Halle todos los $k$ para los cuales la sucesión $a_n(k)$ no contiene el cuadrado de un entero. Amir

2000 personas están sentadas alrededor de una mesa redonda. Cada una de ellas es o un veraz (que siempre dice la verdad) o un mentiroso (que siempre miente). Cada persona dijo: "Al menos dos de las tres personas que están a mi derecha son mentirosos". ¿Cuántos veraces hay en el círculo?

Sea un polinomio cuadrático $g(x) = ax^2 + bx + c$ y un entero $n \ge 1$. Demuestra que existe a lo más un polinomio $f(x)$ de grado $n$ tal que $f(g(x)) = g(f(x))$.