2 Sean $x,y,z \ge 1$ números reales tales que \[ \frac{1}{x^2-1} + \frac{1}{y^2-1} + \frac{1}{z^2-1} = 1. \] Demuestre que \[ \frac{1}{x+1} + \frac{1}{y+1} + \frac{1}{z+1} \le 1. \]

1 Sean $ \alpha,\beta$ números reales que satisfacen $ 1 < \alpha < \beta.$ Halle el mayor entero positivo $ r$ con la siguiente propiedad: si cada entero positivo se colorea con uno de $ r$ colores arbitrariamente, siempre existen dos enteros $ x,y$ del mismo color tales que $ \alpha\le \frac {x}{y}\le\beta.$ Fang-jh

3 Suponga $S=\{1,2,3,...,2017\}$ , para cada subconjunto $A$ de $S$ , defina un número real $f(A)\geq 0$ tal que: $(1)$ Para cualesquiera $A,B\subset S$ , $f(A\cup B)+f(A\cap B)\leq f(A)+f(B)$ ; $(2)$ Para cualesquiera $A\subset B\subset S$ , $f(A)\leq f(B)$ ; $(3)$ Para cualesquiera $k,j\in S$ , $$f(\{1,2,\ldots,k+1\})\geq f(\{1,2,\ldots,k\}\cup \{j\});$$ ; $(4)$ Para el conjunto vacío $\varnothing$ , $f(\varnothing)=0$ . Confirme que para cualquier subconjunto $T$ de $S$ de tres elementos, la desigualdad $$f(T)\leq \frac{27}{19}f(\{1,2,3\})$$ se cumple.

3 Sea $ S$ un punto cualquiera de la circunferencia circunscrita de $ PQR.$ Entonces los pies de las perpendiculares trazadas desde S a los tres lados del triángulo están sobre una misma recta. Denotemos esta recta por $ l(S, PQR).$ Suponga que el hexágono $ ABCDEF$ está inscrito en una circunferencia. Demuestre que las cuatro rectas $ l(A,BDF),$ $ l(B,ACE),$ $ l(D,ABF),$ y $ l(E,ABC)$ se intersecan en un punto si y solo si $ CDEF$ es un rectángulo.

4 Sea $ \,ABC\,$ un triángulo y $ \,P\,$ un punto interior de $ \,ABC\,$ . Demuestre que al menos uno de los ángulos $ \,\angle PAB,\;\angle PBC,\;\angle PCA\,$ es menor o igual que $ 30^{\circ }$ .

1 Determine todas las soluciones reales $(x,y)$ del siguiente sistema de ecuaciones: \begin{align*} x&=3x^2y-y^3,\\ y &= x^3-3xy^2 \end{align*}

5 En el triángulo no isósceles $ABC$ , $D$ es el punto medio del lado $BC$ , $E$ es el punto medio del lado $CA$ , $F$ es el punto medio del lado $AB$ . La recta (distinta de la recta $BC$ ) que es tangente al círculo inscrito del triángulo $ABC$ y pasa por el punto $D$ interseca a la recta $EF$ en $X$ . Defina $Y,Z$ de manera análoga. Demuestre que $X,Y,Z$ son colineales.

3 Los números reales $a_0,a_1,a_2,\ldots$ satisfacen $1=a_0\le a_1\le a_2\le\ldots. b_1,b_2,b_3,\ldots$ se definen por $b_n=\sum_{k=1}^n{1-{a_{k-1}\over a_k}\over\sqrt a_k}$ . a.) Demuestre que $0\le b_n<2$ . b.) Dado $c$ que satisface $0\le c<2$ , demuestre que podemos encontrar $a_n$ de modo que $b_n>c$ para todo $n$ suficientemente grande.

6 Para un entero positivo $n$ y un número primo $p$ dados, halle el valor mínimo del entero positivo $m$ que satisface la siguiente propiedad: para cualquier polinomio $$f(x)=(x+a_1)(x+a_2)\ldots(x+a_n)$$ ( $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son enteros positivos), y para cualquier entero no negativo $k$ , existe un entero no negativo $k'$ tal que $$v_p(f(k))<v_p(f(k'))\leq v_p(f(k))+m.$$ Nota: para un entero no nulo $N$ , $v_p(N)$ es el mayor entero no nulo $t$ que satisface $p^t\mid N$ .

1 Sean $a,b$ y $c$ reales positivos tales que $abc=\frac{1}{8}$. Entonces demuestra que \[a^2+b^2+c^2+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\ge\frac{15}{16}\]