Sean $n \ge 2$ y $ a_1, a_2, \ldots , a_n $, números reales no nulos no necesariamente distintos. Definimos la matriz $A = (a_{ij})_{1 \le i,j \le n} \in M_n( \mathbb{R} )$, $a_{i,j} = max \{ a_i, a_j \} $, $\forall i,j \in \{ 1,2 , \ldots , n \} $. Demuestra que $\mathbf{rank}(A) $ = $\mathbf{card} $ $\{ a_k | k = 1,2, \ldots n \} $

Sea $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ una función con la propiedad del valor intermedio tal que $f(a) * f(b) < 0$. Demuestra que existen $\alpha$, $\beta$ tales que $a < \alpha < \beta < b$ y $f(\alpha) + f(\beta) = f(\alpha) * f(\beta)$.

Determina todos los enteros no nulos $a$ para los cuales existen dos funciones $f,g:\mathbb Q\to\mathbb Q$ tales que $f(x+g(y))=g(x)+f(y)+ay\text{ para todo } x,y\in\mathbb Q.$ Además, determina todos los pares de funciones con esta propiedad.

Sea $n\ge 2$ un entero positivo tal que el conjunto de las $n$ -ésimas raíces de la unidad tiene menos de $2^{\lfloor\sqrt n\rfloor}-1$ subconjuntos con la suma $0$. Demuestra que $n$ es un número primo.

Sean $a,b,c,d\in\mathbb{Z}_{\ge 0}$, $d\ne 0$ y la función $f:\mathbb{Z}_{\ge 0}\to\mathbb Z_{\ge 0}$ definida por $f(n)=\left\lfloor \frac{an+b}{cn+d}\right\rfloor\text{ para todo } n\in\mathbb{Z}_{\ge 0}.$ Demuestra que lo siguiente es equivalente: $f$ es sobreyectiva; $c=0$, $b<d$ y $0<a\le d$.

Encuentra los números complejos $x,y,z$, con $\mid x\mid=\mid y\mid=\mid z\mid$, sabiendo que $x+y+z$ y $x^{3}+y^{3}+z^{3}$ son números reales.

Si $a,b,c>0,a+b+c=1$, entonces: $\frac{1}{abc}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq\frac{13}{ab+bc+ca}$

Sean $P_0, P_1,\ldots, P_{2021}$ puntos en el círculo unitario de centro $O$ tales que para cada $n\in \{1,2,\ldots, 2021\}$ la longitud del arco desde $P_{n-1}$ a $P_n$ (en dirección antihoraria) está en el intervalo $\left[\frac{\pi}2,\pi\right]$. Determina la longitud máxima posible del vector: $\overrightarrow{OP_0}+\overrightarrow{OP_1}+\ldots+\overrightarrow{OP_{2021}}$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con el circuncentro $O$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$. Si $OD\parallel AB$, demuestra que $\sin 2B = \cot C$.

Los estudiantes en una clase de $n$ estudiantes tenían que resolver $2^{n-1}$ problemas en un examen. Resultó que para cada par de problemas distintos: • hay al menos un estudiante que ha resuelto ambos • hay al menos un estudiante que ha resuelto uno de ellos, pero no el otro. Demuestra que hay un problema resuelto por todos los estudiantes en la clase.