Resuelve el sistema en reales: $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})=2022$ y $x+y=\frac{2021}{\sqrt{2022}}$

Demuestra que para todos los números reales positivos $a,b,c$ se cumple la siguiente desigualdad: $(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+7$ y determina todos los casos de igualdad.

En el cuboide $ABCDA'B'C'D'$ con $AB=a$, $AD=b$ y $AA'=c$ tal que $a>b>c>0$, los puntos $E$ y $F$ son las proyecciones ortogonales de $A$ en las líneas $A'D$ y $A'B$, respectivamente, y los puntos $M$ y $N$ son las proyecciones ortogonales de $C$ en las líneas $C'D$ y $C'B$, respectivamente. Sean $DF\cap BE=\{G\}$ y $DN\cap BM=\{P\}$. Demuestra que $(A'AG)\parallel (C'CP)$ y determina la distancia entre estos dos planos; Demuestra que $GP\parallel (ABC)$ y determina la distancia entre la línea $GP$ y el plano $(ABC)$.

Determina el entero no negativo más pequeño $n$ tal que $\sqrt{(6n+11)(6n+14)(20n+19)}\in\mathbb Q$.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con $\angle BAC>90^\circ$. Sean $D$ y $E$ dos puntos en el lado $BC$ tales que $\angle BAD=\angle ACB$ y $\angle CAE=\angle ABC$. La bisectriz del ángulo $\angle ACB$ se encuentra con $AD$ en $N$. Si $MN\parallel BC$, determina $\angle (BM, CN)$.

Resuelve el sistema en reales: $\frac{4-a}{b}=\frac{5-b}{a}=\frac{10}{a^2+b^2}$ .

Sea $\mathcal C$ un círculo centrado en $O$ y $A\ne O$ un punto en su interior. La mediatriz del segmento $OA$ se encuentra con $\mathcal C$ en los puntos $B$ y $C$, y las líneas $AB$ y $AC$ se encuentran con $\mathcal C$ nuevamente en $D$ y $E$, respectivamente. Demuestra que los círculos $(OBC)$ y $(ADE)$ tienen el mismo centro.

Determina el máximo valor real posible del número $k$, tal que \[ (a + b + c)\left (\frac {1}{a + b} + \frac {1}{c + b} + \frac {1}{a + c} - k \right )\ge k\] para todos los números reales $a,b,c\ge 0$ con $a + b + c = ab + bc + ca$.

Encuentra todos los pares $ (m,n)$ de números enteros $m,n > 1$ con la propiedad de que $mn - 1\mid n^3 - 1$.

Sean $m,n$ dos números naturales no nulos y conjuntos $A = \{ 1,2,...,n\}, B = \{1,2,...,m\}$. Decimos que un subconjunto $S$ del producto cartesiano $A \times B$ tiene la propiedad $ (j)$ si $ (a - x)(b - y)\le 0$ para cada par $ (a,b),(x,y) \in S$. Demuestra que cada conjunto $S$ con la propiedad $ (j)$ tiene a lo sumo $m + n - 1$ elementos.