Fije un entero positivo $n.{}$ Considere un conjunto de $n{}$ puntos $S{}$ en el plano. Un conjunto elegible es un conjunto no vacío de la forma $S\cap D,{}$ donde $D$ es un disco cerrado en el plano. En términos de $n,$ determine el número mínimo posible de subconjuntos elegibles que $S{}$ puede contener.

Dado un entero positivo $a,$ demuestre que $n!$ es divisible por $n^2 + n + a$ para infinitos enteros positivos $n.{}$

Sea $k\ge2$ un entero. Encuentre el entero más pequeño $n \ge k+1$ con la propiedad de que existe un conjunto de $n$ números reales distintos tal que cada uno de sus elementos puede escribirse como una suma de $k$ otros elementos distintos del conjunto.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Supongamos que los puntos $Q, A, B, P$ son colineales en este orden, de tal manera que la línea $AC$ es tangente al círculo $ADQ$ , y la línea $BD$ es tangente al círculo $BCP$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AD$ , respectivamente. Demuestre que las siguientes tres líneas son concurrentes: la línea $CD$ , la tangente del círculo $ANQ$ en el punto $A$ , y la tangente al círculo $BMP$ en el punto $B$ .

Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una sucesión de números reales positivos con la propiedad de que $$(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$$ para todo entero positivo $n$ . Demuestre que $a_{2022}\leq 1$ .

Sea $f:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,1\right]$ una función continua y biyectiva, tal que : $f\left(0\right)=0$. Entonces la siguiente desigualdad se cumple: $\left(\alpha+2\right)\cdotp\int_{0}^{1}x^{\alpha}\left(f\left(x\right)+f^{-1}\left(x\right)\right)\leq2,\forall\alpha\geq0 $

Determina todos los anillos finitos no triviales con un elemento unidad en los que la suma de todos los elementos es invertible.

Encuentra todas las funciones continuas $f:\left[0,1\right]\rightarrow[0,\infty)$ tales que: $\int_{0}^{1}f\left(x\right)dx\cdotp\int_{0}^{1}f^{2}\left(x\right)dx\cdotp...\cdotp\int_{0}^{1}f^{2020}\left(x\right)dx=\left(\int_{0}^{1}f^{2021}\left(x\right)dx\right)^{1010}$

Sea $n \ge 2$ y matrices $A,B \in M_n(\mathbb{R})$. Existe $x \in \mathbb{R} \backslash \{0,\frac{1}{2}, 1 \} $, tal que $ xAB + (1-x)BA = I_n$. Demuestra que $(AB-BA)^n = O_n$.

Sea $f :\mathbb R \to\mathbb R$ una función $ n \geq 2$ veces diferenciable tal que: $ \lim_{x \to \infty} f(x) = l \in \mathbb R$ y $ \lim_{x \to \infty} f^{(n)}(x) = 0$. Prueba que: $ \lim_{x \to \infty} f^{(k)}(x) = 0 $ para todo $ k \in \{1, 2, \dots, n - 1\} $, donde $f^{(k)}$ es la $ k $ -ésima derivada de $f$.