Sea $ABC$ un triángulo inscrito en el círculo $K$ y considere un punto $M$ en el arco $BC$ que no contiene a $A$. Las tangentes desde $M$ al incírculo de $ABC$ intersecan el círculo $K$ en los puntos $N$ y $P$. Demostrar que si $\angle BAC = \angle NMP$, entonces los triángulos $ABC$ y $MNP$ son congruentes.

Se consideran los enteros positivos $a < b \leq c < d $ tales que $ad=bc$ y $\sqrt d - \sqrt a \leq 1 $. Demostrar que $a$ es un cuadrado perfecto.

Sean $p, q, r$ primos y sea $n$ un entero positivo tal que $p^n + q^n = r^2$. Demostrar que $n = 1$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$. Considerar un punto variable $P$ en la extensión del segmento $BC$ más allá de $B$ (en otras palabras, $P$ se encuentra en la recta $BC$ tal que el punto $B$ se encuentra dentro del segmento $PC$). Sea $r_{1}$ el radio del incírculo del triángulo $APB$, y sea $r_{2}$ el radio del $P$ - excírculo del triángulo $APC$. Demostrar que la suma $r_{1}+r_{2}$ de estos dos radios permanece constante cuando el punto $P$ varía. Observación. El $P$ - excírculo del triángulo $APC$ se define como el círculo que toca el lado $AC$ y las extensiones de los lados $AP$ y $CP$.

En un torneo de ajedrez, cada jugador jugó con todos los demás jugadores dos partidas, una vez con las piezas blancas y otra con las piezas negras. Se daba un punto por una victoria y 0,5 puntos por una partida empatada. Al final del torneo todos los jugadores tenían el mismo número de puntos. a) Demostrar que existen dos jugadores con el mismo número de partidas empatadas; b) Demostrar que existen dos jugadores que tienen el mismo número de partidas perdidas cuando juegan con las piezas blancas.

Encontrar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros positivos distintos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ tales que \[ \frac 1{a_1} + \frac 2{a_2} + \cdots + \frac n { a_n} = \frac { a_1 + a_2 + \cdots + a_n } n. \]

Sea $A$ un arreglo de $8\times 8$ con entradas del conjunto $\{-1,1\}$ tal que cualquier sub-cuadrado de $2\times 2$ del arreglo tiene el valor absoluto de la suma de sus elementos igual a 2. Demostrar que el arreglo debe tener al menos dos líneas idénticas.

Sea $ABC$ un triángulo con longitudes de lado $a,b,c$, tal que $a$ es el lado más largo. Demostrar que $\angle BAC = 90^\circ$ si y sólo si \[ (\sqrt { a+b } + \sqrt { a-b} )(\sqrt {a+c } + \sqrt { a-c } ) = (a+b+c) \sqrt 2. \]

Sea $ABC$ un triángulo, sin ángulos rectos, y sea $D$ un punto en el lado $BC$. Sean $E$ y $F$ los pies de las perpendiculares trazadas desde el punto $D$ a las rectas $AB$ y $AC$ respectivamente. Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $BF$ y $CE$. Demostrar que la recta $AP$ es la altura del triángulo $ABC$ desde el vértice $A$ si y sólo si la recta $AD$ es la bisectriz del ángulo $CAB$.

Considera un cubo y sean $M, N$ dos de sus vértices. Asigna el número $1$ a estos vértices y $0$ a los otros seis vértices. Se nos permite seleccionar un vértice e incrementar con una unidad los números asignados a los $3$ vértices adyacentes - llamamos a esto un movimiento. Demostrar que existe una secuencia de movimientos después de la cual todos los números asignados a los vértices del cubo se vuelven iguales si y sólo si $MN$ no es una diagonal de una cara del cubo.