G1 Sean $P$ y $Q$ puntos en el segmento $BC$ de un triángulo acutángulo $ABC$ tales que $\angle PAB=\angle BCA$ y $\angle CAQ=\angle ABC$ . Sean $M$ y $N$ los puntos en $AP$ y $AQ$ , respectivamente, tales que $P$ es el punto medio de $AM$ y $Q$ es el punto medio de $AN$ . Demuestre que la intersección de $BM$ y $CN$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Propuesto por Giorgi Arabidze, Georgia.

G2 Sea $ABC$ un triángulo. Los puntos $K, L,$ y $M$ están en los segmentos $BC, CA,$ y $AB,$ respectivamente, tales que las rectas $AK, BL,$ y $CM$ se intersecan en un punto común. Demuestre que es posible elegir dos de los triángulos $ALM, BMK,$ y $CKL$ cuyos inradios sumen al menos el inradio del triángulo $ABC$ . Propuesto por Estonia

G3 Sean $\Omega$ y $O$ la circunferencia circunscrita y el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > BC$ . La bisectriz del ángulo $\angle ABC$ interseca a $\Omega$ en $M \ne B$ . Sea $\Gamma$ el círculo con diámetro $BM$ . Las bisectrices de los ángulos $\angle AOB$ y $\angle BOC$ intersecan a $\Gamma$ en los puntos $P$ y $Q,$ respectivamente. El punto $R$ se elige sobre la recta $P Q$ de modo que $BR = MR$ . Demuestre que $BR\parallel AC$ . (Aquí siempre asumimos que una bisectriz de un ángulo es un rayo.) Propuesto por Sergey Berlov, Rusia

G4 Considere un círculo fijo $\Gamma$ con tres puntos fijos $A, B,$ y $C$ sobre él. Además, fijemos un número real $\lambda \in(0,1)$ . Para un punto variable $P \not\in\{A, B, C\}$ sobre $\Gamma$ , sea $M$ el punto del segmento $CP$ tal que $CM =\lambda\cdot CP$ . Sea $Q$ el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMP$ y $BMC$ . Demuestre que cuando $P$ varía, el punto $Q$ está sobre un círculo fijo. Propuesto por Jack Edward Smith, Reino Unido

G5 El cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene $\angle ABC = \angle CDA = 90^{\circ}$ . El punto $H$ es el pie de la perpendicular desde $A$ a $BD$ . Los puntos $S$ y $T$ están en los lados $AB$ y $AD$ , respectivamente, tales que $H$ está en el interior del triángulo $SCT$ y \[ \angle CHS - \angle CSB = 90^{\circ}, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^{\circ}. \] Demuestre que la recta $BD$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $TSH$ .

2 Hay $32$ estudiantes en la clase con $10$ grupos interesantes. Cada grupo contiene exactamente $16$ estudiantes. Para cada pareja de estudiantes, el cuadrado del número de grupos en los que participa exactamente uno de los dos estudiantes se define como su $interests-disparity$ . Defina $S$ como la suma de las $interests-disparity$ de todas las parejas, $\binom{32}{2}\left ( =\: 496 \right )$ en total. Determine el valor mínimo posible de $S$ .

G6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo fijo. Considere algunos puntos $E$ y $F$ que están en los lados $AC$ y $AB$ , respectivamente, y sea $M$ el punto medio de $EF$ . Sea la mediatriz de $EF$ que interseca la recta $BC$ en $K$ , y sea la mediatriz de $MK$ que interseca las rectas $AC$ y $AB$ en $S$ y $T$ , respectivamente. Llamamos al par $(E, F )$ $\textit{interesting}$ , si el cuadrilátero $KSAT$ es cíclico. Suponga que los pares $(E_1 , F_1 )$ y $(E_2 , F_2 )$ son interesantes. Demuestre que $\displaystyle\frac{E_1 E_2}{AB}=\frac{F_1 F_2}{AC}$ Propuesto por Ali Zamani, Irán

G7 Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\Omega$ e incentro $I$ . Sea la recta que pasa por $I$ y es perpendicular a $CI$ que interseca el segmento $BC$ y el arco $BC$ (que no contiene a $A$ ) de $\Omega$ en los puntos $U$ y $V$ , respectivamente. Sea la recta que pasa por $U$ y es paralela a $AI$ que interseca a $AV$ en $X$ , y sea la recta que pasa por $V$ y es paralela a $AI$ que interseca a $AB$ en $Y$ . Sean $W$ y $Z$ los puntos medios de $AX$ y $BC$ , respectivamente. Demuestre que si los puntos $I, X,$ e $Y$ son colineales, entonces los puntos $I, W ,$ y $Z$ también son colineales. Propuesto por David B. Rush, EE. UU.

4 Sea $p$ un primo y $k$ un entero positivo. El conjunto $S$ contiene todos los enteros positivos $a$ que satisfacen $1\le a \le p-1$ , y existe un entero positivo $x$ tal que $x^k\equiv a \pmod p$ . Suponga que $3\le |S| \le p-2$ . Demuestre que los elementos de $S$ , ordenados en orden creciente, no forman una progresión aritmética.

55 Halle todos los $x$ para los cuales, para todo $n,$ \[\sum^n_{k=1} \sin {k x} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}.\]