1 Hay un cuadrilátero convexo $ ABCD $ que satisface $ \angle A=\angle D $ . Sean los puntos medios de $ AB, AD, CD $ iguales a $ L,M,N $ . Digamos que el punto de intersección de $ AC, BD $ es $ E $ . Digamos que el punto $ F $ que está sobre $ \overrightarrow{ME} $ satisface $ \overline{ME}\times \overline{MF}=\overline{MA}^{2} $ . Demuestre que $ \angle LFM=\angle MFN $ . :)

3 Sea $S$ el conjunto de los números reales positivos. Encuentra todas las funciones $f\colon S^3 \to S$ tales que, para todos los números reales positivos $x$, $y$, $z$ y $k$, se satisfacen las siguientes tres condiciones: (a) $xf(x,y,z) = zf(z,y,x)$, (b) $f(x, ky, k^2z) = kf(x,y,z)$, (c) $f(1, k, k+1) = k+1$. (Reino Unido)

2 Determina todos los enteros positivos $x$, $y$ y $z$ tales que $x^5 + 4^y = 2013^z$ . (Serbia)

2 ¿Cuántas funciones biyectivas $f : \{1, 2, \cdots, 9\} \rightarrow \{1, 2, \cdots, 9\}$ satisfacen (i) y (ii)? (i) $f(1)>f(2)$ , $f(9)<9$ . (ii) Para cada $i=3, 4, \cdots, 8$ , si $f(1), \cdots, f(i-1)$ son menores que $f(i)$ , entonces $f(i+1)$ también es menor que $f(i)$ .

3 Sean $x, y, z$ los números reales que satisfacen lo siguiente. $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=8, x^3+y^3+z^3=1$ Determine el valor mínimo de $x^4+y^4+z^4$ .

4 Demuestre que existe una función $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisface lo siguiente: (1) $\{f(n) : n\in\mathbb{N}\}$ es un conjunto finito; y (2) para enteros no nulos $x_1, x_2, \ldots, x_{1000}$ que satisfacen $f(\left|x_1\right|)=f(\left|x_2\right|)=\cdots=f(\left|x_{1000}\right|)$ , se tiene que $x_1+2x_2+2^2x_3+2^3x_4+2^4x_5+\cdots+2^{999}x_{1000}\ne 0$ .

Determine todas las funciones de los enteros no negativos en sí mismos tales que: $2f(m^2+n^2)=f^2(m)+f^2(n)$ y para $m\geq n$ $f(m^2)\geq f(n^2)$ .

Sea $ABC$ un triángulo equilátero de lado $1$ , sea $D$ un punto sobre $BC$ , y sean $r_1, r_2$ los inradios de los triángulos $ABD$ y $ADC$ . Exprese $r_1r_2$ en términos de $p = BD$ y determine el máximo de $r_1r_2$ .

Sea $ S$ el conjunto de los enteros no negativos. Determine todas las funciones $ f,g,h: S\rightarrow S$ tales que $ f(m+n)=g(m)+h(n),$ para todo $ m,n\in S$ , y $ g(1)=h(1)=1$ .

Sean $ \alpha,\beta,\gamma$ los ángulos de un triángulo. Demuestre que $csc^2\frac{\alpha}{2}+csc^2\frac{\beta}{2}+csc^2\frac{\gamma}{2} \ge 12$ y determine las condiciones para la igualdad.