N3 Se da una baraja de $n > 1$ cartas. En cada carta está escrito un entero positivo. La baraja tiene la propiedad de que la media aritmética de los números de cada par de cartas es también la media geométrica de los números de alguna colección de una o más cartas. ¿Para qué $n$ se deduce que los números de las cartas son todos iguales? Propuesto por Oleg Košik, Estonia

N4 Para cualquier primo impar $p$ y cualquier entero $n,$ sea $d_p (n) \in \{ 0,1, \dots, p-1 \}$ el resto cuando $n$ se divide por $p.$ Decimos que $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ es una p-sucesión , si $a_0$ es un entero positivo coprimo con $p,$ y $a_{n+1} =a_n + d_p (a_n)$ para $n \geqslant 0.$ (a) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$ - sucesiones $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ y $(b_0, b_1, b_2, \dots)$ tales que $a_n >b_n$ para infinitos $n,$ y $b_n > a_n$ para infinitos $n?$ (b) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$ - sucesiones $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ y $(b_0, b_1, b_2, \dots)$ tales que $a_0 <b_0,$ pero $a_n >b_n$ para todo $n \geqslant 1?$ United Kingdom

N5 Determine todas las funciones $f$ definidas sobre el conjunto de todos los enteros positivos y que toman valores enteros no negativos, que satisfacen las tres condiciones: $(i)$ $f(n) \neq 0$ para al menos un $n$ ; $(ii)$ $f(x y)=f(x)+f(y)$ para todos los enteros positivos $x$ y $y$ ; $(iii)$ hay infinitos enteros positivos $n$ tales que $f(k)=f(n-k)$ para todo $k<n$ .

N6 Para un entero positivo $n$ , sea $d(n)$ el número de divisores positivos de $n$ , y sea $\varphi(n)$ el número de enteros positivos que no exceden $n$ y que son coprimos con $n$ . ¿Existe una constante $C$ tal que $$ \frac {\varphi ( d(n))}{d(\varphi(n))}\le C$$ para todo $n\ge 1$ Cyprus Aryan-23

N7 Sea $\mathcal{S}$ un conjunto formado por $n \ge 3$ enteros positivos, ninguno de los cuales es suma de otros dos miembros distintos de $\mathcal{S}$ . Demuestre que los elementos de $\mathcal{S}$ pueden ordenarse como $a_1, a_2, \dots, a_n$ de modo que $a_i$ no divide a $a_{i - 1} + a_{i + 1}$ para todo $i = 2, 3, \dots, n - 1$ .

1 Sea $A$ un subconjunto de $101$ elementos del conjunto $S=\{1,2,\ldots,1000000\}$ . Demuestre que existen números $t_1$ , $t_2, \ldots, t_{100}$ en $S$ tales que los conjuntos \[ A_j=\{x+t_j\mid x\in A\},\qquad j=1,2,\ldots,100 \] son disjuntos dos a dos.

2 Sea $ ABC$ un triángulo con circuncentro $ O$ . Los puntos $ P$ y $ Q$ son puntos interiores de los lados $ CA$ y $ AB$ respectivamente. Sean $ K,L$ y $ M$ los puntos medios de los segmentos $ BP,CQ$ y $ PQ$ . respectivamente, y sea $ \Gamma$ el círculo que pasa por $ K,L$ y $ M$ . Suponga que la recta $ PQ$ es tangente al círculo $ \Gamma$ . Demuestre que $ OP = OQ.$ Propuesto por Sergei Berlov, Rusia

2 Determine todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que \[ \dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1} \] es un entero positivo.

3 Cada par de lados opuestos de un hexágono convexo tiene la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ veces la suma de sus longitudes. Demuestre que todos los ángulos del hexágono son iguales.

4 Sean \(a,b,c\) números reales positivos tales que \(ab+bc+ac = a+b+c\). Demuestra la siguiente desigualdad: \[ \sqrt{a+\frac{b}{c}} + \sqrt{b+\frac{c}{a}} + \sqrt{c+\frac{a}{b}} \leq \sqrt{2} \cdot \min \left\{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\ \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right\}. \] Propuesto por Dorlir Ahmeti.