En un triángulo $ ABC$ , sean $ M_{a}$ , $ M_{b}$ , $ M_{c}$ los puntos medios de los lados $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ , respectivamente, y $ T_{a}$ , $ T_{b}$ , $ T_{c}$ los puntos medios de los arcos $ BC$ , $ CA$ , $ AB$ de la circunferencia circunscrita de $ ABC$ , que no contienen los vértices $ A$ , $ B$ , $ C$ , respectivamente. Para $ i \in \left\{a, b, c\right\}$ , sea $ w_{i}$ la circunferencia con $ M_{i}T_{i}$ como diámetro. Sea $ p_{i}$ la tangente externa común a las circunferencias $ w_{j}$ y $ w_{k}$ (para todo $ \left\{i, j, k\right\}= \left\{a, b, c\right\}$ ) tal que $ w_{i}$ se encuentra en el lado opuesto de $ p_{i}$ que $ w_{j}$ y $ w_{k}$ . Demuestra que las rectas $ p_{a}$ , $ p_{b}$ , $ p_{c}$ forman un triángulo similar a $ ABC$ y encuentra la razón de similitud.

Demuestre la desigualdad: \n\[\sum_{i < j}{\frac {a_{i}a_{j}}{a_{i} + a_{j}}}\leq \frac {n}{2(a_{1} + a_{2} +\cdots + a_{n})}\cdot \sum_{i < j}{a_{i}a_{j}}\] para números reales positivos $ a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ .

Hallar todos los números $n$ que pueden expresarse en la forma $n=k+2\lfloor\sqrt{k}\rfloor+2$ para algún entero no negativo $k$ .

Sean $ a > b > 1$ enteros positivos relativamente primos. Define el peso de un entero $ c$ , denotado por $ w(c)$ como el valor mínimo posible de $ |x| + |y|$ tomado sobre todos los pares de enteros $ x$ e $ y$ tales que\n\[ax + by = c.\]\nUn entero $ c$ es llamado un campeón local si $ w(c) \geq w(c \pm a)$ y $ w(c) \geq w(c \pm b)$ . Encuentra todos los campeones locales y determina su número.

Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuación\n\[\frac {x^{7} - 1}{x - 1} = y^{5} - 1.\]

Definimos una secuencia $ \left(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \right)$ por\n\[ a_{n} = \frac {1}{n}\left(\left\lfloor\frac {n}{1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac {n}{2}\right\rfloor + \cdots + \left\lfloor\frac {n}{n}\right\rfloor\right),\n\] donde $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de $x$ .\na) Demuestra que $a_{n+1}>a_n$ infinitamente seguido.\nb) Demuestra que $a_{n+1}<a_n$ infinitamente seguido.

Para todo entero positivo $n$ , muestra que existe un entero positivo $m$ tal que $n$ divide a $2^{m} + m$ .

Un pastel tiene la forma de un cuadrado de $ n$ x $ n$ compuesto por $ n^{2}$ cuadrados unitarios. Las fresas se encuentran en algunos de los cuadrados unitarios de modo que cada fila o columna contiene exactamente una fresa; llame a esta disposición $\mathcal{A}$ . Sea $\mathcal{B}$ otra disposición de este tipo. Suponga que cada rectángulo de cuadrícula con un vértice en la esquina superior izquierda del pastel contiene no menos fresas de la disposición $\mathcal{B}$ que de la disposición $\mathcal{A}$ . Demuestre que la disposición $\mathcal{B}$ se puede obtener de $ \mathcal{A}$ realizando una serie de conmutaciones, definidas de la siguiente manera: Una conmutación consiste en seleccionar un rectángulo de cuadrícula con solo dos fresas, situadas en su esquina superior derecha y en su esquina inferior izquierda, y mover estas dos fresas a las otras dos esquinas de ese rectángulo.

Si $a,b,c$ son los lados de un triángulo, demuestre que \[\frac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c+a-b}}{\sqrt{c}+\sqrt{a}-\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a+b-c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}\leq 3 ]

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n > 1$ con coeficientes enteros y sea $k$ un entero positivo. Considera el polinomio $Q(x) = P(P(\ldots P(P(x)) \ldots ))$ , donde $P$ ocurre $k$ veces. Demuestra que hay a lo más $n$ enteros $t$ tales que $Q(t) = t$ .