Para $ x \in (0, 1)$ sea $ y \in (0, 1)$ el número cuya $ n$ - ésima cifra después del punto decimal es la $ 2^{n}$ - ésima cifra después del punto decimal de $ x$ . Demuestre que si $ x$ es racional entonces también lo es $ y$ .

Determine todos los pares $(x, y)$ de enteros tales que \[1+2^{x}+2^{2x+1}= y^{2}.\]

Sean $a$ y $b$ enteros distintos mayores que $1$ . Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que $(a^n-1)(b^n-1)$ no es un cuadrado perfecto.

Sea $k$ un entero positivo. Demuestra que si existe una secuencia $a_0,a_1,\ldots$ de enteros que satisface la condición \[a_n=\frac{a_{n-1}+n^k}{n}\text{ para todo } n\geq 1,\] entonces $k-2$ es divisible por $3$ .

Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes enteros. Demuestra que no existe una función $T$ del conjunto de los enteros en el conjunto de los enteros tal que el número de enteros $x$ con $T^n(x)=x$ es igual a $P(n)$ para cada $n\geq 1$ , donde $T^n$ denota la $n$ -ésima aplicación de $T$ .

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que exista una secuencia de enteros positivos $a_1$ , $a_2$ , $\ldots$ , $a_n$ que satisfaga: \[a_{k+1}=\frac{a_k^2+1}{a_{k-1}+1}-1\] para cada $k$ con $2\leq k\leq n-1$ .

Sea $f$ una función no constante del conjunto de enteros positivos en el conjunto de enteros positivos, tal que $a-b$ divide a $f(a)-f(b)$ para todos los enteros positivos distintos $a$, $b$. Demuestra que existen infinitos primos $p$ tales que $p$ divide a $f(c)$ para algún entero positivo $c$.

Un entero positivo $N$ se llama balanceado, si $N=1$ o si $N$ puede ser escrito como un producto de un número par de primos no necesariamente distintos. Dados enteros positivos $a$ y $b$, considera el polinomio $P$ definido por $P(x)=(x+a)(x+b)$.\n(a) Demuestra que existen enteros positivos distintos $a$ y $b$ tales que todos los números $P(1)$, $P(2)$, $\ldots$, $P(50)$ son balanceados.\n(b) Demuestra que si $P(n)$ es balanceado para todos los enteros positivos $n$, entonces $a=b$.

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_k$ $(k \ge 2)$ enteros distintos en el conjunto ${1, 2, \ldots, n}$ tales que $n$ divide a $a_i(a_{i + 1} - 1)$ para $i = 1, 2, \ldots, k - 1$. Demuestra que $n$ no divide a $a_k(a_1 - 1).$

Sean $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito. Sea $g$ una línea que pasa por $A$ que se encuentra con el segmento $BC$ en $M$ y la línea $CD$ en $N$. Denotemos por $I_1$, $I_2$ y $I_3$ los incentros de $\triangle ABM$, $\triangle MNC$ y $\triangle NDA$, respectivamente. Demuestra que el ortocentro de $\triangle I_1I_2I_3$ se encuentra en $g$.