Cien puntos rojos y cien puntos azules son elegidos en el plano, no tres de ellos están en una línea. Demuestra que estos puntos pueden ser conectados por pares, rojos con azules, por segmentos de línea disjuntos.

Sea $k \in \mathbb{Z}^+$ y sea $n=2^k+1.$ Demuestre que $n$ es un número primo si y solo si se cumple lo siguiente: existe una permutación $a_{1},\ldots,a_{n-1}$ de los números $1,2, \ldots, n-1$ y una secuencia de enteros $g_{1},\ldots,g_{n-1},$ tal que $n$ divide a $g^{a_i}_i - a_{i+1}$ para cada $i \in \{1,2,\ldots,n-1\},$ donde establecemos $a_n = a_1.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Gamma$. Sea $\ell$ una línea tangente a $\Gamma$, y sean $\ell_a, \ell_b$ y $\ell_c$ las líneas obtenidas al reflejar $\ell$ en las líneas $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demuestra que el circuncírculo del triángulo determinado por las líneas $\ell_a, \ell_b$ y $\ell_c$ es tangente al círculo $\Gamma$.

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo todos cuyos lados son tangentes a un círculo $\omega$ con centro $O$. Suponga que el circuncírculo del triángulo $ACE$ es concéntrico con $\omega$. Sea $J$ el pie de la perpendicular desde $B$ a $CD$. Suponga que la perpendicular desde $B$ a $DF$ interseca la línea $EO$ en un punto $K$. Sea $L$ el pie de la perpendicular desde $K$ a $DE$. Demuestra que $DJ=DL$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ y sea $D$ el punto medio de $AC$. La bisectriz del ángulo $\angle BAC$ interseca el círculo que pasa por $D,B$ y $C$ en el punto $E$ dentro del triángulo $ABC$. La línea $BD$ interseca el círculo que pasa por $A,E$ y $B$ en dos puntos $B$ y $F$. Las líneas $AF$ y $BE$ se encuentran en un punto $I$, y las líneas $CI$ y $BD$ se encuentran en un punto $K$. Muestra que $I$ es el incentro del triángulo $KAB$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circuncírculo $\omega$. Sean $D$ y $E$ los segundos puntos de intersección de $\omega$ con $AI$ y $BI$, respectivamente. La cuerda $DE$ se encuentra con $AC$ en un punto $F$, y $BC$ en un punto $G$. Sea $P$ el punto de intersección de la línea que pasa por $F$ paralela a $AD$ y la línea que pasa por $G$ paralela a $BE$. Suponga que las tangentes a $\omega$ en $A$ y $B$ se encuentran en un punto $K$. Demuestra que las tres líneas $AE,BD$ y $KP$ son paralelas o concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncírculo $\Omega$. Sea $B_0$ el punto medio de $AC$ y sea $C_0$ el punto medio de $AB$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ y sea $G$ el centroide del triángulo $ABC$. Sea $\omega$ un círculo que pasa por $B_0$ y $C_0$ que es tangente al círculo $\Omega$ en un punto $X\not= A$. Demuestra que los puntos $D,G$ y $X$ son colineales.

En una mesa cuadrada de $2011 \times 2011$ celdas, colocamos un número finito de servilletas que cubren cada una un cuadrado de $52 \times 52$ celdas. En cada celda escribimos el número de servilletas que la cubren, y registramos el número máximo $k$ de celdas que contienen todas el mismo número distinto de cero. Considerando todas las configuraciones posibles de servilletas, ¿cuál es el valor más grande de $k$?

Sea $n$ un entero positivo, y sea $W = \ldots x_{-1}x_0x_1x_2 \ldots$ una palabra periódica infinita, que consta solo de letras $a$ y/o $b$ . Suponga que el período mínimo $N$ de $W$ es mayor que $2^n$ . Se dice que una palabra finita no vacía $U$ aparece en $W$ si existen índices $k \leq \ell$ tales que $U=x_k x_{k+1} \ldots x_{\ell}$ . Una palabra finita $U$ se llama ubicua si las cuatro palabras $Ua$ , $Ub$ , $aU$ , y $bU$ todas aparecen en $W$ . Demuestre que hay al menos $n$ palabras finitas no vacías ubicuas.

Sea $m$ un entero positivo, y considere un tablero de ajedrez de $m\times m$ que consta de cuadrados unitarios. En el centro de algunos de estos cuadrados unitarios hay una hormiga. En el momento $0$ , cada hormiga comienza a moverse con velocidad $1$ paralela a algún borde del tablero de ajedrez. Cuando dos hormigas que se mueven en direcciones opuestas se encuentran, ambas giran $90^{\circ}$ en el sentido de las agujas del reloj y continúan moviéndose con velocidad $1$ . Cuando más de $2$ hormigas se encuentran, o cuando dos hormigas que se mueven en direcciones perpendiculares se encuentran, las hormigas continúan moviéndose en la misma dirección que antes de encontrarse. Cuando una hormiga llega a uno de los bordes del tablero de ajedrez, se cae y no reaparecerá. Considerando todas las posiciones iniciales posibles, determine el último momento posible en el que la última hormiga se cae del tablero de ajedrez, o demuestre que tal momento no necesariamente existe.