Sea $ABC$ un triángulo con $m (\angle C) = 90^\circ$ y los puntos $D \in [AC], E\in [BC]$. Dentro del triángulo construimos los semicírculos $C_1, C_2, C_3, C_4$ de diámetros $[AC], [BC], [CD], [CE]$ y sea $\{C, K\} = C_1 \cap C_2, \{C, M\} =C_3 \cap C_4, \{C, L\} = C_2 \cap C_3, \{C, N\} =C_1 \cap C_4$. Demuestra que los puntos $K, L, M, N$ son concíclicos.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en el círculo $C$. Los círculos $C_1, C_2, C_3$ son tangentes internamente al círculo $C$ en $A_1, B_1, C_1$ y tangentes a los lados $[BC], [CA], [AB]$ en los puntos $A_2, B_2, C_2$ respectivamente, de modo que $A, A_1$ están en un lado de $BC$ y así sucesivamente. Las líneas $A_1A_2, B_1B_2$ y $C_1C_2$ intersecan el círculo $C$ por segunda vez en los puntos $A', B'$ y $C'$, respectivamente. Si $ M = BB' \cap CC'$, demuestra que $m (\angle MAA') = 90^\circ$.

Sean $E, F$ dos puntos distintos dentro de un paralelogramo $ABCD$. Determina el máximo número posible de triángulos que tienen la misma área con tres vértices de los puntos $A, B, C, D, E, F$.

Dos círculos $C_1$ y $C_2$ se intersecan en los puntos $A$ y $B$. Un círculo $C$ con centro en $A$ interseca a $C_1$ en $M$ y $P$ y a $C_2$ en $N$ y $Q$ de modo que $N$ y $Q$ están ubicados en lados diferentes con respecto a $MP$ y $AB> AM$. Demuestra que $\angle MBQ = \angle NBP$.

Una empresa tiene $n$ empleados. Se sabe que cada uno de los empleados trabaja al menos uno de los $7$ días de la semana, con la excepción de un empleado que no trabaja ninguno de los $7$ días. Además, para cualesquiera dos de estos $n$ empleados, hay al menos $3$ días de la semana en los que uno de los dos trabaja ese día y el otro no (no es necesariamente el mismo empleado quien trabaja esos días). Determinar el valor más alto posible de $n$ .

Sea $n$ un entero positivo. Encontrar todas las $n$ - filas $( a_1 , a_2 ,..., a_n )$ de enteros positivos diferentes tales que $$ \frac{(a_1 + d ) (a_2 + d ) \cdot\cdot\cdot ( a_n + d )}{a_1a_2\cdot \cdot \cdot a_n }$$ es entero para cada entero $d\ge 0$

Se sabe que $m$ y $n$ son enteros positivos, $m > n^{n-1}$ , y todos los números $m+1$ , $m+2$ , \dots, $m+n$ son compuestos. Demuestra que existen tales primos diferentes $p_1$ , $p_2$ , \dots, $p_n$ que $p_k$ divide a $m+k$ para $k = 1$ , 2, \dots, $n$ .

Ceros y unos están dispuestos en todos los cuadrados de la tabla de $n\times n$. Todos los cuadrados de la columna izquierda están llenos de unos, y la suma de los números en cada figura de la forma [asy]size(50); draw((2,1)--(0,1)--(0,2)--(2,2)--(2,0)--(1,0)--(1,2));[/asy] (que consta de un cuadrado y sus vecinos de la izquierda y de abajo) es par. Demuestra que no hay dos filas de la tabla que sean idénticas.

La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ toca sus lados $AB$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q.$ La línea $PQ$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en los puntos $X$ y $Y.$ Encuentra $\angle XBY$ si $\angle ABC = 90^\circ.$

50 caballeros del Rey Arturo se sentaron en la Mesa Redonda. Una copa de vino blanco o tinto estaba frente a cada uno de ellos. Se sabe que al menos una copa de vino tinto y al menos una copa de vino blanco estaban sobre la mesa. El rey aplaudió dos veces. Después del primer aplauso, cada caballero con una copa de vino tinto frente a él tomó una copa de su vecino de la izquierda. Después del segundo aplauso, cada caballero con una copa de vino blanco (y posiblemente algo más) frente a él le dio esta copa al vecino de la izquierda de su vecino de la izquierda. Demuestra que a algún caballero se le acabó el vino.