Sea $m$ un entero positivo, y considere un tablero de ajedrez de $m\times m$ que consta de cuadrados unitarios. En el centro de algunos de estos cuadrados unitarios hay una hormiga. En el momento $0$ , cada hormiga comienza a moverse con velocidad $1$ paralela a algún borde del tablero de ajedrez. Cuando dos hormigas que se mueven en direcciones opuestas se encuentran, ambas giran $90^{\circ}$ en el sentido de las agujas del reloj y continúan moviéndose con velocidad $1$ . Cuando más de $2$ hormigas se encuentran, o cuando dos hormigas que se mueven en direcciones perpendiculares se encuentran, las hormigas continúan moviéndose en la misma dirección que antes de encontrarse. Cuando una hormiga llega a uno de los bordes del tablero de ajedrez, se cae y no reaparecerá. Considerando todas las posiciones iniciales posibles, determine el último momento posible en el que la última hormiga se cae del tablero de ajedrez, o demuestre que tal momento no necesariamente existe.